TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 83

83) Man untersuche nachstehend angeführte Relationen $R\subseteq {M^{2}}$ im Hinblick auf die Eigenschaften (R), (S), (A) und (T):

a) $M=$ Menge aller Einwohner von Wien (Volkszählung 2001), $aRb\Leftrightarrow$$a$ ist verheiratet mit $b$

b) $M$ w.o., $aRb\Leftrightarrow$$a$ ist nicht älter als $b$

c) $M$ w.o., $aRb\Leftrightarrow$$a$ ist so groß wie $b$

d) $M=\mathbb {R}$, $aRb\Leftrightarrow a-b\in \mathbb {Z}$

e) $M=\mathbb {R} ^{n}$, $(x_{1},...,x_{n})R(y_{1},...,y_{n})\Leftrightarrow x_{i}\leq y_{i}\forall i=1,...,n$

Lösung (naiv, bitte nochmal überprüfen!): ($\top$= wahr, $\bot$= flasch):

a)$aRb\Leftrightarrow$$a$ ist verheiratet mit $b$:

(R) $\forall x\in A:xRx:\bot$ Man kann (noch) nicht mit sich selbst verheiratet sein.

(S) $\forall x,y\in A:xRy\Rightarrow yRx:\top$ Wenn Gattin mit Gatte verheiratet, dann auch Gatte mit Gattin.

(A) $\forall x,y\in A:xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y:\bot$ Im Endeffekt wie (R).

(T) $\forall x,y,z\in A:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz:\bot$ Drei Leute müßten untereinander verheiratet sein; möglich, aber (zumindest) der Papst mag das nicht.

b)$M$ w.o., $aRb\Leftrightarrow$$a$ ist nicht älter als $b$:

(R) $\forall x\in A:xRx:\top$

(S) $\forall x,y\in A:xRy\Rightarrow yRx:\bot$

(A) $\forall x,y\in A:xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y:\bot$

(T) $\forall x,y,z\in A:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz:\top$

c)$M$ w.o., $aRb\Leftrightarrow$$a$ ist so groß wie $b$:

(R) $\forall x\in A:xRx:\top$

(S) $\forall x,y\in A:xRy\Rightarrow yRx:\top$

(A) $\forall x,y\in A:xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y:\bot$

(T) $\forall x,y,z\in A:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz:\top$

d)$M=\mathbb {R}$, $aRb\Leftrightarrow a-b\in \mathbb {Z}$:

(R) $\forall x\in A:xRx:\top$

Beispiel: $x-x=0\in \mathbb {Z}$

(S) $\forall x,y\in A:xRy\Rightarrow yRx:\top$

(A) $\forall x,y\in A:xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y:\bot$

(T) $\forall x,y,z\in A:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz:\top$

e)$M=\mathbb {R} ^{n}$, $(x_{1},...,x_{n})R(y_{1},...,y_{n})\Leftrightarrow x_{i}\leq y_{i}\forall i=1,...,n$:

(R) $\forall x\in A:xRx:\top$

(S) $\forall x,y\in A:xRy\Rightarrow yRx:\bot$

Gegenbeispiel: $(1,1)\leq (1,2);(1,1)\ngeq (1,2)$

(A) $\forall x,y\in A:xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y:\top$

(T) $\forall x,y,z\in A:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz:\top$

Beweis: $x_{i}\leq y_{i}\wedge y_{i}\leq z_{i}\Rightarrow x_{i}\leq z_{i}$

Vorsicht: Das hier nur abzuschreiben, ohne es durchzudenken, gibt Ärger. An der Tafel muß man auf Aufforderung dazu bereit sein, für alle Punkte Beweise oder Gegenbeispiele anzuführen (und beim UE-Test sowieso!).

Außerdem ist in einem Punkt da oben ein Hund drin, den ich mir vom Adrenalinrausch an der Tafel nicht mehr gemerkt habe :-).

Nachdenker erwünscht! (bitte auch gleich ausbessern, danke)

--Baccus 05:31, 26. Nov 2006 (CET)

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Der Fehler war bei c) (A): x=y bedeutet hier nicht, dass beide gleich groß sind, sondern, dass es die gleichen Personen sind. Daher ist die Aussage falsch.