TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 83

83) Man untersuche nachstehend angeführte Relationen $R \subseteq M^{2}$ im Hinblick auf die Eigenschaften (R), (S), (A) und (T):

a) $M =$ Menge aller Einwohner von Wien (Volkszählung 2001), $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist verheiratet mit $b$

b) $M$ w.o., $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist nicht älter als $b$

c) $M$ w.o., $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist so groß wie $b$

d) $M = ℝ$ , $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$

e) $M = ℝ^{n}$ , $(x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$

Lösung (naiv, bitte nochmal überprüfen!): ( $⊤$ = wahr, $⊥$ = flasch):

a) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist verheiratet mit $b$ :

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊥$ Man kann (noch) nicht mit sich selbst verheiratet sein.

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$ Wenn Gattin mit Gatte verheiratet, dann auch Gatte mit Gattin.

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$ Im Endeffekt wie (R).

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊥$ Drei Leute müßten untereinander verheiratet sein; möglich, aber (zumindest) der Papst mag das nicht.

b) $M$ w.o., $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist nicht älter als $b$ :

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊥$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

c) $M$ w.o., $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist so groß wie $b$ :

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

d) $M = ℝ$ , $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$ :

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

Beispiel: $x - x = 0 \in ℤ$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

e) $M = ℝ^{n}$ , $(x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$ :

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊥$

Gegenbeispiel: $(1, 1) \leq (1, 2); (1, 1) ≱ (1, 2)$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊤$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

Beweis: $x_{i} \leq y_{i} \land y_{i} \leq z_{i} \Rightarrow x_{i} \leq z_{i}$

Vorsicht: Das hier nur abzuschreiben, ohne es durchzudenken, gibt Ärger. An der Tafel muß man auf Aufforderung dazu bereit sein, für alle Punkte Beweise oder Gegenbeispiele anzuführen (und beim UE-Test sowieso!).

Außerdem ist in einem Punkt da oben ein Hund drin, den ich mir vom Adrenalinrausch an der Tafel nicht mehr gemerkt habe :-).

Nachdenker erwünscht! (bitte auch gleich ausbessern, danke)

--Baccus 05:31, 26. Nov 2006 (CET)

Der Fehler war bei c) (A): x=y bedeutet hier nicht, dass beide gleich groß sind, sondern, dass es die gleichen Personen sind. Daher ist die Aussage falsch.

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 83

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