TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Irrational Sqrt

$\sqrt{x}$ ist irrational

In den Übungen haben wir ausschliesslich Bsp gerechnet wo das auch der Fall war. Vorgehensweise war der indirekte Beweis.

$\sqrt{x}=\frac{p}{q}\wedge ggT(p,q)=1$

Dabei sind wir dann folgendermassen vorgegangen:

• Quadrieren der Gleichung: $x=\frac{p^2}{q^2}$
• Umformen der Gleichung: $x\ast q^2=p^2$
• Danach wurde Impliziert: wenn $x|p^2\to x|p$
• $p=(xr)$
• $x\ast q^2=(xr{)}^2$
• $x\ast q^2=x^2{r}^2$
• $q^2=x{r}^2$
• Danach wurde Impliziert: wenn $x|q^2\to x|q$
• Wiederspruch zur Annahme : $ggT(p,q)=1$

Beispiele

Beweis der Irrationalität von $\sqrt{3}$

Hinweis

Diese Implikationen gelten nicht immer, denn sonst wäre ja jede Wurzel irrational.

Die Implikation $x|p^2\Rightarrow x|p$ gilt nur, wenn in der Primfaktorzerlegung von p der Faktor x vorkommt. D. h. $p^2$ darf auf keinen Fall quadratfrei sein.

Z. B. $4|36$, aber $4\nmid 6$, da $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$, und $6=2\cdot 3$, d. h. 4 kommt darin nicht vor.

Konkrete Bsp:

$x=4\Rightarrow 2\cdot 2$,da ich einen Primfaktor mehrmals habe, ist es rational
$x=10\Rightarrow 2\cdot 5$,da jeder Primfaktor nur einmal vorkommt, ist es irrational
Daraus folgt, das die Wurzel jeder Primzahl irrational ist, oder?