TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Irrational Sqrt

${\sqrt {x}}$ ist irrational

In den Übungen haben wir ausschliesslich Bsp gerechnet wo das auch der Fall war. Vorgehensweise war der indirekte Beweis.

${\sqrt {x}}={\frac {p}{q}}\wedge ggT(p,q)=1$

Dabei sind wir dann folgendermassen vorgegangen:

• Quadrieren der Gleichung: $x={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$
• Umformen der Gleichung: $x*q^{2}=p^{2}$
• Danach wurde Impliziert: wenn $x\vert p^{2}\rightarrow x\vert p$
• $p=(xr)$
• $x*q^{2}=(xr)^{2}$
• $x*q^{2}=x^{2}r^{2}$
• $q^{2}=xr^{2}$
• Danach wurde Impliziert: wenn $x\vert q^{2}\rightarrow x\vert q$
• Wiederspruch zur Annahme : $ggT(p,q)=1$

Beispiele

Beweis der Irrationalität von ${\sqrt {3}}$

Hinweis

Diese Implikationen gelten nicht immer, denn sonst wäre ja jede Wurzel irrational.

Die Implikation $x|p^{2}\Rightarrow x|p$ gilt nur, wenn in der Primfaktorzerlegung von p der Faktor x vorkommt. D. h. $p^{2}$ darf auf keinen Fall quadratfrei sein.

Z. B. $4|36$, aber $4\nmid 6$, da $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$, und $6=2\cdot 3$, d. h. 4 kommt darin nicht vor.

Konkrete Bsp:

$x=4\Rightarrow 2\cdot 2$,da ich einen Primfaktor mehrmals habe, ist es rational
$x=10\Rightarrow 2\cdot 5$,da jeder Primfaktor nur einmal vorkommt, ist es irrational
Daraus folgt, das die Wurzel jeder Primzahl irrational ist, oder?