TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 10

Man beweise mittels vollständiger Induktion

$\sum _{j=1}^{n}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)$, wobei $\left(n\ge 1\right)$

Beweis

(i) Induktionsanfang
$n=1:n=1\to 2=\frac{1}{6}\left(2+6+4\right)=\frac{12}{6}=2$

(ii) Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{j=1}^{n}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)$ für ein beliebiges $n\ge 1$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)+(n+1)(n+2)$



$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+4\right)+\left(n+1\right)\left(6n+12\right)}{6}$

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+10n+12\right)}{6}$

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n+1}{6}\left(2{\left(n+1\right)}^2+6\left(n+1\right)+4\right)q.e.d.$

Lösung von Schnuffel:

Hab mir das Beispiel für den Test angesehen und habe den Eindruck, dass bei der oben geposteten Lösung Behauptung und Beweis irgendwie verdreht sind. Hier meine Lösung:

Induktionsanfang:

siehe obige Lösung

Induktionsannahme:

siehe obige Lösung

Induktionsbehauptung:

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{(n+1)}{6}\left(2(n+1{)}^2+6(n+1)+4\right)$

$=\frac{(n+1)(2n^2+4n+2+6n+6+4)}{6}$

$=\frac{(n+1)(2n^2+10n+12)}{6}$

$=\frac{2n^3+12n^2+22n+12}{6}$

$=\frac{2n(n^2+6n+11)}{6}+2$

Induktionsbeweis:

$\frac{(n)(2n^2+6n+4)}{6}+(n+1)(n+2)$

$=\frac{2n^3+6n^2+4n}{6}+n^2+3n+2$

$=\frac{2n^3+6n^2+4n+6n^2+18n+12}{6}$

$=\frac{2n^3+12n^2+22n+12}{6}$

$=\frac{2n(n^2+6n+11)}{6}+2$

q.e.d