TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 128

Für die linke Seite:

$\left(\begin{array}{c}\frac{n+1}{k+1}\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\end{array}\right)$

hier können wir aus (n+1)! herausheben.

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$

Für die rechte Seite

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{array}\right)$

wie für die linke seite aus dem (k+1)! ein (k+1) herausheben. und für (n-(k+1))! kann man auch schreiben $\left(\begin{array}{c}\frac{(n-k)!}{(n-k)}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!}{\frac{(k)!(k+1)(n-k)!}{(n-k)}}\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{array}\right)$

hierfür jetzt innenglied mal aussenglied den doppelbruch auflösen ( hier ist ja $n!=\frac{n!}{1}$) dann haben wir:

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}\frac{n!}{k!(n-k)!}\end{array}\right)$

Jetzt bringen wir das auf gleichen Nenner ( rechts wird um (k+1) erweitert):

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}\frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)}\end{array}\right)$

Auf einen Bruchstrich schreiben:

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$

Jetzt n! herausheben:

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n-k+k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$

Und zusammenrechnen:

$\left(\begin{array}{c}\frac{n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k)!}\end{array}\right)$

Damit ist die rechte und die linke Seite gleich. was zu beweisen war! QED!