TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 133

Überarbeitet nach der Übung vom 29.11.:

Die Lösung von Politiker neu stimmt, lt der Übung.

Habe halt angenommen, dass ich erst nach drei Büchern anfange!

Panholzer-Diskussion: Hat er wirklich gemeint es gäbe nur 35 Möglichketen? Hat er übersehen, dass es mindestens 3 Bücher Abstand sind und nicht genau? Oder hat er das Ergebnis ${\begin{pmatrix}35\\6\end{pmatrix}}$ für so selbstverständlich gehalten, dass er es so kaum erwähnt hat? Extrem, extrem merkwürdig, das Beispiel. Ich bete zu den Mathematik-Göttern, dass es nicht zum Test kommt, trotzdem - Wenn's irgendwer verstehet: bitte gerne eine 2., 3. 4. Erklärung zum PolitikerNEU dazuschreiben, weil so wie's erklärt ist, bricht mir das das Gehirn. Danke.

Angabe:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einem 50-bändigen Lexikon genau 6 Bücher auszuwählen, wobei zwischen zwei ausgewählten Bänden immer mindestens drei im Regal stehen bleiben sollen?

Lösungsansatz von Schnuffel:

Merkmale der Auswahl:

1) die Reihenfolge der ausgewählten Objekte ist wichtig - dh es handelt sich um eine Anordnung

2) Band wird ausgewählt und steht nicht mehr zur Verfügung

Mein Ansatz:

Ich wähle Anordnungen verschiedener Elemente/Variation ohne Wiederholung.

- Für meine erste Auswahl stehen mir n Elemente zur Verfügung.

- Für meine zweite Auswahl stehen mir (n-7) Elemente zur Verfügung (ich kann den bereits gewählten Band nicht mehr nehmen sowie die 3 vorhergehenden und die drei folgenden Bände).

Das ergibt:

$n*(n-7)(n-14)(n-21)(n-28)(n-35)$

das ergibt:

$50*43*36*29*22*15=740.718.000$

Lösungsansatz von PolitikerNEU

Ich hab den Ansatz von Beispiel 132 verallgemeinert (und stimme mit dem Vorberarbeiter überein, dass dein Ansatz nicht richtig ist): Es kommt bei der Berechnung nur auf die Anzahl der zur Verfügung stehenden Möglichkeiten an. Diese reduzieren sich für jeden "Abstand" um 1 Möglichkeit pro Zwischenraum, also gibt es n - (Elemente - 1) * Abstand Möglichkeiten zur Verfügung bei einem Abstand von Abstand. Damit kann man in die normale Formel zum Berechnen von Permutationen ohne Wiederholung einsetzen ${\begin{pmatrix}n-(k-1)*a\\k\end{pmatrix}}$ Damit ergibt sich dann ${\begin{pmatrix}50-(6-1)*3\\6\end{pmatrix}}$ und als Ergebnis kommt mir raus 1.623.160, also merkwürdigerweise viel weniger Möglichkeiten

--DeepB: Dies wurde auch so von unserem Übungsgruppenleiter vorgerechnet

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Nur so eine kleine Frage, und was wenn ich als erstes Buch das aller Erstes oder das aller Letztes waehle? Dann haette ich doch beim zweitem Zug n-3 zur auswahl statt n-7, weil eben das Erste oder das Letzte kur in eine Richtung Nachbarn haben, hmm? Dann ist es eine ganz andere Rechnung oder?

P.S.: Ich hab gar keine Ahnung ob ichs gut oder falsch editiert habe .. :P

Dem zweiten Lösungsansatz (der verallgemeinerte von Beispiel 32) ist es völlig egal, ob ein Buch am Ende oder am Anfang steht. Die Bücher die nicht mehr ausgewählt werden können sind die Bücher die in den Zwischenräumen stehen, also (k-1)*3. Diese werden von der Gesamtzahl der Bücher abgezogen --> unter den übriggebliebenen Büchern ist es egal welche ausgewählt werden.

Lösung von D4ni31

Ich habe mir das so gedacht: Die Anzahl der Möglichkeiten ist immer ${\begin{pmatrix}AnzahlDerElementeAusDenenAusgewaehltWerdenKann\\ausgewaehlteElemente\end{pmatrix}}$

Insgesamt gibt es 50 Bücher aus denen 6 ausgewählt werden. Da zwischen 2 ausgewählten Bänden immer mindestens 3 im Regal bleiben müssen, haben wir 5*3 Bücher die nicht ausgewählt werden können. Es gibt also 35 Auswahlmöglichkeiten.

Daher: ${\begin{pmatrix}35\\6\end{pmatrix}}$