TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 15

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{k=1}^{n}k{5}^k=\frac{5}{16}(n{5}^{n+1}-(n+1)5^n+1)n\ge 1$

Induktionsanfang: $n=1$ ergibt

Linke Seite: $1\ast 5^1=5$

Rechte Seite: $\frac{5}{16}(1\ast 5^2-2\ast 5^1+1)=\frac{5}{16}(16)=5$

OK.

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum _{k=1}^{n+1}k{5}^k=\frac{5}{16}((n+1)5^{n+1+1}-(n+1+1)5^{n+1}+1)$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Wir formen die rechte Seite weiter um, zwecks Vereinfachung:

$\frac{5}{16}(n\ast 5^{n+2}+5^{n+2}-n\ast 5^{n+1}-2\ast 5^{n+1}+1)=$

Wir heben $5^n$ heraus!

$=\frac{5}{16}(5^n\ast (n\ast 5^2+5^2-n\ast 5-2\ast 5)+1)=$

$=\frac{5}{16}(5^n\ast (25n+25-5n-10)+1)=$

$=\frac{5}{16}(5^n\ast (20n+15)+1)$

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsbehauptung)

Die rechte $(n+1)\ast 5^{n+1}$ zu addieren. Wir vereinfachen diesen Addend:

$(n+1)\ast 5^{n+1}=5\ast (n+1)\ast 5^n$

Es soll sich ergeben: $\frac{5}{16}(5^n\ast (20n+15)+1)$

$\frac{5}{16}(n{5}^{n+1}-(n+1)5^n+1)+5\ast (n+1)\ast 5^n=$

Da einigen der Übergang zum nächsten Schritt etwas unklar war, füge ich ein - zunächst wird der rechte Addend mit $\frac{16}{16}$ multipliziert:

$\frac{5}{16}(n{5}^{n+1}-(n+1)5^n+1)+\frac{16\ast 5\ast (n+1)\ast 5^n}{16}=$

Praktischerweise ist im linken Addend schon 5 herausgehoben - da auch im rechten Addend 5 herausgehoben werden kann, kommen wir auf:

$=\frac{5}{16}\ast (n{5}^{n+1}-(n+1)5^n+1+16(n+1)\ast 5^n)=$

$=\frac{5}{16}\ast (n{5}^{n+1}-(n+1)5^n+1+(16n+16)\ast 5^n)=$

Wiederum heben wir $5^n$ heraus und erhalten:

$=\frac{5}{16}\ast (5^n\ast (5n-n-1+16n+16)+1)=$

$=\frac{5}{16}(5^n\ast (20n+15)+1)$

Q.e.d.

(Siehe auch f.thread:36134 )