Ist
,
und
für alle
, so gilt
![{\displaystyle F_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}{\Bigg [}{\Bigg (}{1+{\sqrt {5}} \over 2}{\Bigg )}^{n}-{\Bigg (}{1-{\sqrt {5}} \over 2}{\Bigg )}^{n}{\Bigg ]}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b49333da8165fa4de78872ea281126b&mode=mathml)
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Induktionsvoraussetzung
für
in weiterer Folge verwende ich:
![{\displaystyle a:=({1+{\sqrt {5}} \over 2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4b0f7b93b2e917b6c610bb7438e14bd7&mode=mathml)
![{\displaystyle b:=({1-{\sqrt {5}} \over 2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12c490989e508f84c677480d1a8c5ff0&mode=mathml)
womit man die I.V. schreiben kann als
Induktionsbehauptung
Induktionsanfang
Da wir von den vorherigen beiden auf das nächste schließen, müssen wir es für die ersten beiden zeigen.
![{\displaystyle F_{0}={1 \over {\sqrt {5}}}(a^{0}-b^{0})={1 \over {\sqrt {5}}}(1-1)=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e3bfa6702e212579627dc95f236c7a38&mode=mathml)
![{\displaystyle F_{1}={1 \over {\sqrt {5}}}(a^{1}-b^{1})={1 \over {\sqrt {5}}}[({1+{\sqrt {5}} \over 2})^{1}-({1-{\sqrt {5}} \over 2})^{1}]={1 \over {\sqrt {5}}}[({1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}} \over 2})]=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8a9f497714288589ef96c97693f76a4c&mode=mathml)
Induktionsschritt
(I) ![{\displaystyle F_{n+2}={1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n+2}-b^{n+2}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a81343c8f9dcaad6dfdf134cb130a3f3&mode=mathml)
(II) ![{\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}={1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n+1}-b^{n+1}]+{1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n}-b^{n}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e0fa17a85233dca82b390cc2483e861a&mode=mathml)
![{\displaystyle {1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n+1}-b^{n+1}]+{1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n}-b^{n}]={1 \over {\sqrt {5}}}[a^{n+2}-b^{n+2}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=40b863d6c749b83bab2be02d8ebc9030&mode=mathml)
kürzen von
.
![{\displaystyle a^{n}-b^{n}+a^{n+1}-b^{n+1}=a^{n+2}-b^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=25fa4aa56129ce0232485d9c0d770356&mode=mathml)
umformen
![{\displaystyle a^{n}+a^{n+1}-a^{n+2}=b^{n}+b^{n+1}-b^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5f9f51062157f08a45e635ed5eced0d5&mode=mathml)
bzw.
herausheben
![{\displaystyle a^{n}(1+a-a^{2})=b^{n}(1+b-b^{2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6641b6a360d1d42160be66fb71854559&mode=mathml)
Jetzt muss bewiesen werden, dass die obige Aussage stimmt.
linke Seite: ![{\displaystyle a^{n}(1+a-a^{2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=de9391470b3234076751856f702ae4ef&mode=mathml)
rechte Seite: ![{\displaystyle b^{n}(1+b-b^{2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ddc2755eb23e5af74e96c34734285c9&mode=mathml)
linke Seite: wir betrachten nur
und setzen ein:
![{\displaystyle [1+({1+{\sqrt {5}} \over 2})-({1+{\sqrt {5}} \over 2})^{2}]={4+2+2{\sqrt {5}}-6-2{\sqrt {5}} \over 4}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=47fc83df2084ebb2a388662442ad9feb&mode=mathml)
rechte Seite: wir betrachten nur
und setzen ein:
![{\displaystyle [1+({1-{\sqrt {5}} \over 2})-({1-{\sqrt {5}} \over 2})^{2}]={4+2-2{\sqrt {5}}-6+2{\sqrt {5}} \over 4}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dca018e065f3a3f469087307a53e38da&mode=mathml)
![{\displaystyle a^{n}*0=b^{n}*0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=509f198bf50f0e776e242ddf355e6899&mode=mathml)
![{\displaystyle 0=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=89216c6e9fd135b0766d2f708c1a4e1a&mode=mathml)
q.e.d.
Alternativer Induktionsschritt
In Rekursion ist die Induktion schon drinnen
I.V. Einsetzen
Kürzen
Auf gleiche Seite bringen
Herausheben
Definition von a und b
Nebenrechnung
Alles auf /4 Brüche bringen
Ähnliches Beispiel: