TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 26

Zeigen Sie, dass $\sqrt{5}$ irrational ist!

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Hilfreiches

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat

Primzahl teilt Quadrat

wenn $p|a^2$ dann auch $p|a$ Es gelten folgende Voraussetzungen:

• $p$ muss eine Primzahl sein
• $a$ muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist $a$ eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

1. $a$ ist durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^2$ durch $p$ teilbar
2. $a$ ist nicht durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^2$ nicht durch $p$ teilbar: wenn $p$ nicht in der Primzahlenzerlegung von $a$ vorkommt, kann es auch nicht in der von $a^2$ vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn $a^2$ durch $p$ teilbar ist, dann auch $a$". (Wäre $a$ nicht durch $p$ teilbar dann auch $a^2$ nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: $\sqrt{5}$ ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich $\sqrt{5}$ als Bruch darzustellen: $\sqrt{5}=\frac{a}{b}$ mit natürlichen Zahlen $a$ und $b$. Weil es für jede rationale Zahl einen Bruch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für $\sqrt{5}$ gelten. Wir nehmen an $\frac{a}{b}$ ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

$\begin{array}{ccc}\sqrt{5}& =& \frac{a}{b}\\ 5& =& \frac{a^2}{b^2}\\ 5b^2& =& a^2\end{array}$

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass $a^2$ durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch $a$ durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir $r$ sodass $a=5r$.

Weitere Umformung:

$\begin{array}{ccc}5b^2& =& a^2\\ 5b^2& =& 25r^2\\ b^2& =& 5r^2\end{array}$

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass $b^2$ durch 5 teilbar ist und damit auch $b$.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch $\frac{a}{b}$ soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl $a$ als auch $b$ durch 5 teilbar sind.

Lösungsvorschlag

• Behauptung: $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{5}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$5=\frac{p^2}{q^2}$

$5q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p=5r$ (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

$(5r{)}^2=5q^2$

$25r^2=5q^2$

$5r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 5 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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