TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 20

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Man untersuche durch vollständige Induktion, für welche n >= 0 folgende Ungleichung gilt:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


SS08 Beispiel 3

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

     (1)      	   wahr
     (3)      	   falsch
    (9)      	  falsch
   (27)           richtig
   (81) 	  richtig
   (243) 	  richtig

Dies ergibt die Vermutung, dass die Gleichung für alle gilt, da stärker wächst als .

Der Induktionsanfang für n = 3 ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, dass die Gleichung für alle gilt.

Die Induktionsbehauptung:

Induktionsschluß:

   | Term * 3
   	               |
                  

und die Gleichung ist für alle und bewiesen. //Heholord fragt: Warum ist sie damit für und bewiesen? A: wenns für 3 gilt und für den nachfolger von 3 (3+1) gilt, dann hast dus für alle ab 3 bewiesen. und 0 einsetzen

Hapi

Lösungsvorschlag von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsanfang siehe oben.

Zum Induktionsschritt:

Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

Unsere Induktionsbehauptung lautet:

Die beste Vorgehensweise bei Ungleichungen ist, nicht beide Seiten gleichzeitig umzuformen, sondern eine Kette aus = und -Ketten zu bilden, um so von der linken Seite auf die rechte zu kommen (siehe [1]). Wir fangen also mit der linken Seite an und formen sie ein bisschen um:

Wir müssen es irgendwie schaffen, unsere Induktionsvoraussetzung zu nutzen. Um dies zu schaffen, formen wir unsere Induktionsvoraussetzung etwas um:

Diese umgeformte IVR können wir nun in unsere letzte Formel einsetzen und dann weiter umformen:

Was steht hier nun? Wir haben , dazu wird 3 dazu addiert und 3n subtrahiert. 3n ist sicher größer als 3 (da laut Induktionsanfang). Daher ist sicher kleiner 0. Sprich wir ziehen etwas von ab. Lassen wir diese Subtraktion einfach weg, erhalten wir etwas, was sicher größer ist.

Nun folgen ein paar simple Schritte:

Wir haben nun also eine lange Kette gebildet, auf deren linker Seite steht, dann folgen lauter = bzw , und am rechten Ende steht . So haben wir also die Induktionsbehauptung gezeigt und die Aussage bewiesen.

--Ryus (Diskussion) 21:58, 18. Okt. 2015 (CEST)