TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 337

Man zeige, dass $\langle \mathbb {Z} ,\circ \rangle$ mit der Operation

${\begin{aligned}a\circ b&=a+b-a*b&&&&\forall a,b\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

eine Halbgruppe ist. Gibt es ein neutrales Element? Wenn ja, welche Elemente haben Inverse?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Lösungsvorschlag von mnemetz 0

Basierend auf f.thread:37761 !

Abgeschlossenheit

Die Operationen *,+,- sind abgeschlossen. Wenn gilt, dass $a,b\in \mathbb {Z}$ sind, folgt dass a*b und a+b und a-b Element aus $\mathbb {Z}$ sind.

Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität

Es muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in \mathbb {Z}$.

Beide Seiten sind gleich, daher ist die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element

Es muss gelten: $a\circ e=e\circ a=a$

$a+e-a*e=a\qquad |-a$

$e-a*e=0\qquad |e-rausheben$

$e*(1-a)=0\qquad |/(1-a)$

$\mathbf {e=0}$

Inverse Elemente

Es muss gelten: $a\circ a'=a'\circ a=e$

$a+a'-a*a'=e$

$a'-a*a'=e-a$

$a'*(1-a)=e-a$

$a'={\frac {(e-a)}{(1-a)}}$

$\mathbf {a'={\frac {(-a)}{(1-a)}}}$

Für die Elemente 0 und 2 existiert ein inverses Element.

[Anmerkung von David Mihola: Wieso nur für 0 und 2? Es müsste doch für jedes a, für das der Ausdruck in der letzten Zeile definiert ist (also für alle außer 1) ein inverses Element geben, oder? Und: Sagt man, das neutrale Element ist sein eigenes Inverses?]

[Antwort vom moep: wir bewegen uns in den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, alles andere wuerde ja einen Bruch ergeben, siehe dazu den thread im informatik-forum https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?81297-Beispiel-37-aus-der-%DCbung ]

Kommutativität

Es muss gelten: $a\circ b=b\circ a$

• $a\circ b=a+b-ab$
• $b\circ a=b+a-ba$

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Monoid vor.

Anmerkung: Damit ein Monoid vorliegt, muss für jedes Element aus der Gruppe ein Inverses existieren. Dies ist offensichtlich nicht der Fall (3 und 0 haben kein Inverses, als einfaches Gegenbeispiel). Hier handelt es sich nur um eine Halbgruppe. -- luis

Es ist auf jeden Fall ein Monoid, siehe Buch Seite 73. Wenn jedes Element ein Inverses besitzt, handelt es sich um eine Gruppe.

In der neuen Auflage Buch Seite 80 ganz unten.

[ Anmerkung von ilaViCion: Genauer gesagt ein kommutativer Monoid. ]