TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 338

Für $A=\{a\}$ und $B=\{b,c\}$ bestimme man die Mengen von Wörtern

$A^{*}$, $B^{*}$, $A^{*}B$, $AB^{*}$, $(A\cup B)^{*}$ und $ABA^{*}B$.

Dabei gelte: Sind $X$ und $Y$ Mengen von Wörtern über einem Alphabet, dann bezeichnet

$XY=\{w_{1}w_{2}|w_{1}\in X,w_{2}\in Y\}$.

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Lösung von P.paulweber 17:48, 2. Mai 2008 (CEST)

Theorie:

Für ein Alphabet $\Sigma$ ist $\Sigma ^{*}$ die Menge aller Wörter über $\Sigma$, d.h. $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\qquad \Sigma$
Weiters kommt zu dieser Menge noch das leere Wort $\epsilon$ hinzu.

Berechnung:

${\begin{aligned}\Longrightarrow A^{*}&=\lbrace \epsilon ,a\rbrace \\\Longrightarrow B^{*}&=\lbrace \epsilon ,b,c\rbrace \\\Longrightarrow A^{*}B&=\lbrace \epsilon b,\epsilon c,ab,ac\rbrace \\\Longrightarrow AB^{*}&=\lbrace \epsilon a,ab,ac\rbrace \\A\cup B&=\lbrace a,b,c\rbrace \\\Longrightarrow (A\cup B)^{*}&=\lbrace \epsilon ,a,b,c\rbrace \\AB&=\lbrace ab,ac\rbrace \\ABA^{*}&=\lbrace \epsilon ab,\epsilon ac,aab,aac\rbrace \\\Longrightarrow ABA^{*}B&=\lbrace \epsilon abb,\epsilon acb,\epsilon abc,\epsilon acc,aabb,aacb,aabc,aacc\rbrace \end{aligned}}$

[Anmerkung von David Mihola: Soll das der Kleene-Stern sein? Dann wäre schon A* = {E, a, aa, aaa, aaaa, ... , a^n}, etc.]

Anmerkung mick:

Diese Lösung dürfte falsch sein. Zumindest wird das auch in folgenden Foren diskutiert bzw. angesprochen.

https://web.archive.org/web/20180817162122/https://www.onlinemathe.de/forum/Eine-Menge-von-W%C3%83%C2%B6rtern-

demnach bedeutet A*, dass bei Stern beliebig viele a eingesetzt werden können oder sogar gar keins (=leeres Zeichen!)

Lösung von Damian

Anmerkung: da $\epsilon a=a$ und $\epsilon \epsilon =\epsilon$ impliziert $\epsilon \epsilon a=a$ brauchen wir $\epsilon$ nicht jedes Mal dazuzuschreiben.