TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 380

Man zeige, daß die von ${\overline {4}}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ein Normalteiler von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{12}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) = RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\forall a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösungsvorschlag

Die von 4 erzeugte Untergruppe ist: $4+n*\mathbb {Z} =\{0,4,8\}$.

$\langle {\overline {4}}\rangle =\{n*{\overline {a}}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\{0,4,8\}$

Für das Überprüfen, ob es sich um einen Normalteiler handelt, muss man überprüfen ob die Linksnebenklasse = die Rechtsnebenklasse ist.

$4+n*\mathbb {Z} =n*\mathbb {Z} +4$

$U=\{0,4,8\}$

$1+U=\{1,5,9\}$

$2+U=\{2,6,10\}$

$3+U=\{3,7,11\}$

Gruppentafel der Faktorgruppe:

${\begin{array}{c|cccc}+&U&1+U&2+U&3+U\\\hline U&U&1+U&2+U&3+U\\1+U&1+U&2+U&3+U&U\\2+U&2+U&3+U&U&1+U\\3+U&3+U&U&1+U&2+U\end{array}}$

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\forall \,\,a,b\,\in G$ gilt$\colon \;a\circ b=b\circ a$.

Ordnung und Mächtigkeit einer Gruppe

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe. Die Mächtigkeit $|G|$ wird auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe $G=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}$ ist die Ordnung($n=ord(G)$) die Anzahl $n$ der Gruppenelemente.

Untergruppen

Eine Untergruppe $(U,\circ )$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist eine Teilmenge $U$ von $G$, die bezüglich der Verknüpfung $\circ$ selbst wieder eine Gruppe bildet. Manchmal wird die Kurzschreibweise $U\leq G$ verwendet, zu lesen als $U$ ist Untergruppe von $G$.

Die trivialen Untergruppen

• Von einer Gruppe $G$ sind stets $G$ selbst sowie die einelementige Gruppe mit dem neutralen Element $\{e\}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von $G$ genannt. Im Fall $G=\{e\}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq \{e\}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
• Eine von $G$ verschiedene Untergruppe $U$ wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise $U<G$.

Satz von Lagrange: Kriterium für die Existenz einer Untergruppe

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe $U$ einer endlichen Gruppe $G_{n}$ die Ordnung der Gruppe $G$ teilt. Ist beispielsweise $|G|$ eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe $U$ nur $1$ oder $|G|$ betragen. Also sind in diesem Fall die trivialen Untergruppen die einzige Untergruppe von $G$.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe

Nebenklassen

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe, $U$ eine Untergruppe von $G$ und $a\in G$. Dann heißt

${\begin{alignedat}{1}&a\circ U=&\{\,a\circ u\,&\vert \,u\in U\,\}&\quad &{\text{Linksnebenklasse}}&{\text{ von }}&U&{\text{ in }}G&\\&U\circ a=&\{\,u\circ a\,&\vert \,u\in U\,\}&\quad &{\text{Rechtsnebenklasse}}&{\text{ von }}&U&{\text{ in }}G&\end{alignedat}}$

Die Idee dahinter ist, dass man $G$ in eine Anzahl disjunkter Mengen aufteilt, von denen jede gleich groß ist wie $\vert \,U\,\vert \,$, von denen $U$ selbst eine ist und zwei Nebenklassen $a\circ U,b\circ U$ entweder gleich oder disjunkt sind. Die Abbildung $U\to a\circ U\colon \;u\mapsto a\circ u$ ist bijektiv und alle Nebenklassen haben dieselbe Ordnung$\colon \,\operatorname {ord} (U)$. Nach dem Satz von Lagrange gilt:

$\,\vert \,G\,\vert \,=\,\vert \,U\,\vert \,\cdot \,\vert \,G/U\,\vert$ (Satz von Lagrange).

Normalteiler

Eine Untergruppe $N$ einer Gruppe $G$ heißt Normalteiler, wenn die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Man schreibt dann kurz $N\trianglelefteq G$.

Faktorgruppe

Sei $N$ Normalteiler einer Gruppe $G$ und bezeichne $G/N$ die Menge der Nebenklassen von $G$ nach $N$. Dann wird durch die Operation

$(\,a\circ N\,)\circ (\,b\circ N\,)=(\,a\circ b\,)\circ N$

eine Gruppenoperation auf $G/N$ definiert. Die Gruppe ($G/N$) heißt Faktorgruppe von $G$ nach $N$.

Der kleine fermatsche Satz

Für jedes Element $a\in C_{n}$ einer endlichen Gruppe $\left\langle C_{n},\circ \right\rangle$ gilt$\colon \;a^{|C|}=a^{n}=a^{0}=e$.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz

Zyklische Gruppen

Eine zyklische Gruppe $\left\langle C,\circ \right\rangle$ ist eine Gruppe, die von einem einzelnen Element $a$ erzeugt wird. Sie besteht nur aus den Potenzen des erzeugenden Elementes $a$

$\left\langle a\right\rangle :=\{\;a^{n}\,|\,n\in \mathbb {Z} \;\}$

Eine Gruppe $\left\langle C,\circ \right\rangle$ ist also zyklisch, wenn sie ein Element $a$ enthält, sodass jedes Element von einer Potenz von diesem Element $a$ erzeugt wird. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element $a$ gibt, sodass $C$ selbst die einzige Untergruppe von $C$ ($C\leqslant C$) ist, die das Element $a$ enthält. In diesem Fall wird $a$ als ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von $C$ genannt. Im endlichen Fall schreibt man $\left\langle C_{n},\circ \right\rangle$.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppewiki/Zyklische_Gruppe

Lösung von Har203

Zuerst erstellen wir die von ${\overline {4}}$ erzeugte Untergruppe von $\mathbb {Z} _{12}$.

Dafür definieren wir die Menge $U\,\colon =\{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$.

• Operationstafel der Gruppe $\left\langle U,+\right\rangle$

${\begin{array}{c|ccc}\mathbf {+} &\color {green}\mathbf {\overline {0}} &\mathbf {\overline {4}} &\mathbf {\overline {8}} \\\hline \color {green}\mathbf {\overline {0}} &\color {green}{\overline {0}}&\color {green}{\overline {4}}&\color {green}{\overline {8}}\\\mathbf {\overline {4}} &\color {green}{\overline {4}}&{\overline {8}}&{\overline {0}}\\\mathbf {\overline {8}} &\color {green}{\overline {8}}&{\overline {0}}&{\overline {4}}\end{array}}$

• $\left\langle U,+\right\rangle$ ist abgeschlossen$\,\colon \quad \color {green}\surd$
• $\left\langle U,+\right\rangle$ ist assoziativ: wird übernommen$\,\colon \quad \color {green}\surd$
• $\left\langle U,+\right\rangle$ ein Neutrales Element $\mathbf {\overline {0}}$ existiert$\,\colon \quad \color {green}\surd$
• $\left\langle U,+\right\rangle$ zu jedem Element $\,a\in U\colon \,\exists$ ein inverses Element $(-a)\,\colon \quad \color {green}\surd$
• $\left\langle U,+\right\rangle$ ist kommutativ: wird übernommen$\,\colon \,\quad \color {green}\surd$

Wir bilden nun die Links- und Rechtsnebenklassen ($NK_{i}$) mit $i\in \{\,0,\ldots ,3\}$. Da $\left\langle \mathbb {Z} _{12},+\right\rangle$ kommutativ ist, müssen die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Daher ist $\left\langle \mathbb {Z} _{12},+\right\rangle$ ein Normalteiler.

• Operationstafel und Nebenklassen $NK_{i}\ (i\in \{\,0,\,1,\,2,\,3\,)$ der Untergruppe $\left\langle U,+\right\rangle$ mit $\{\,u\circ a\,\vert \,a\in G,u\in U\,\}$

${\begin{array}{c|cccc|cccc|cccc}&NK_{0}&NK_{1}&NK_{2}&NK_{3}&NK_{0}&NK_{1}&NK_{2}&NK_{3}&NK_{0}&NK_{1}&NK_{2}&NK_{3}\\\hline +&\mathbf {0} &\mathbf {1} &\mathbf {2} &\mathbf {3} &\mathbf {4} &\mathbf {5} &\mathbf {6} &\mathbf {7} &\mathbf {8} &\mathbf {9} &\mathbf {10} &\mathbf {11} \\\hline \mathbf {0} &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\\mathbf {4} &4&5&6&7&8&9&10&11&0&1&2&3\\\mathbf {8} &8&9&10&11&0&1&2&3&4&5&6&7\end{array}}$

Die Nebenklassen der Gruppe $\left\langle G,+\right\rangle$ nach $U$ sind

$NK_{0}=\{\,0,\,4,\,8\,\}\quad NK_{1}=\{\,1,\,5,\,9\,\}\quad NK_{2}=\{\,2,\,6,\,10\,\}\quad NK_{3}=\{\,3,\,7,\,11\,\}$

Die Menge der Nebenklassen von $G$ nach $N\colon \,G/N\colon \,=\{\,\{\,0,\,4,\,8\,\},\ \{\,1,\,5,\,9\,\},\ \{\,2,\,6,\,10\,\},\ \{\,3,\,7,\,11\,\}\,\}$

Faktorgruppe: Es wird eine Operation auf den Nebenklassen definiert (alle drei sind gleichwertig):

$(\,a\circ N\,)\circ (\,b\circ N\,)=(\,a\circ b\,)\circ N$
$\{\,(a\circ u)\circ (b\circ v)\,\vert \,a\in NK_{i}\,,b\in NK_{j}\,,\ i\,j\in \{\,0,\,1,\,2,\,3\,\}\},u,\,v\in N\,\}$
$\{\,u\circ v\,\vert \,u\in NK_{i}\,,v\in NK_{j}\,,i,j\in \{\,0,\,1,\,2,\,3\,\}\,\}$

Operationstafel der Faktorgruppe $G/N$ von $\left\langle G,+\right\rangle$ nach $\left\langle U,+\right\rangle$

$\oplus$	NK_0	NK_1	NK_2	NK_3
NK_0	NK_0	NK_1	NK_2	NK_3
NK_1	NK_1	NK_2	NK_3	NK_0
NK_2	NK_2	NK_3	NK_0	NK_1
NK_3	NK_3	NK_0	NK_1	NK_2

$\quad \blacksquare$

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 258
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 260
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 261