TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 285

Sei G eine Gruppe, deren Ordnung |G| eine Primzahl ist. Man zeige, dass G nur die trivialen Untergruppen {e} und G hat.

Lösungsvorschlag von Neverlasting

Laut dem Satz von Lagrange ist die Ordnung |U| einer Untergruppe von G stets Teiler der Gruppenordnung |G|. Ist nun |G| eine Primzahl, hat sie nur die Teiler 1 und |G|. Das heißt, es gibt eine Untergruppe mit einem Element und eine Untergruppe mit |G| Elementen. Logischerweise ist die erste {e}, da jede Gruppe ein neutrales Element haben muss, und die zweite G selbst.