TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 35

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von $\sqrt[5]{\sqrt{2}-\sqrt{6}𝗂}$ in der Form $[r,\phi ]$.

Lösung von Hapi

(Korrigierte Fassung)

entspricht dem Beispiel 34, daher Lösung analog.

Zunächst muß der Vektor Z erstellt werden: Z = $\sqrt{2}$ - $\sqrt{6}$i in der Form a - bi

Der Betrag von Z = |Z| , berechnet als $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{2+6}$ = $\sqrt{8}$

Z = |Z| * (cos$\varphi$ - i.sin$\varphi$) = $\sqrt{8}\ast (\sqrt{2}/\sqrt{8}-i.\sqrt{6}/\sqrt{8})$

$\sqrt{2}/\sqrt{8}$ = 1/$\sqrt{4}$ = 1/2 ,....

$-\sqrt{6}/\sqrt{8}$ = $-\sqrt{3}/\sqrt{4}$ = 1/2*$-\sqrt{3}$

Der Cosinus-Wert 1/2 entspricht dem Winkel -60 Grad oder $-\pi$/3, ebenso der Sinus Wert, da der Wert im 4 Quadranten liegt

Somit haben wir die Polarkoordinaten des Vektors Z: Z = [$\sqrt{8}$, $-\pi$/3] bzw. [$\sqrt{8}$, $5\pi$/6] oder 300 Grad

Die fünfte Wurzel ergibt sich dann durch einfaches dividieren, wobei sich jede der 5 Lösungen um 1/5 des Kreises 2*$\pi$,

somit um 2/5 $\pi$ oder 72 Grad unterscheidet.

Die n-te Wurzel ist dann ganz einfach Zk = [|Z|,$\varphi$/n+k.2*$\pi$/n], k [0 .. n]

Z0 = [$\sqrt[10]{8}$, $-\pi$/6 + 0]

  (5-Wurzel aus der Wurzel von 8 ist die zehnte Wurzel, der Winkel wird einfach durch 5 dividiert,
   d.h aus $5\pi$/6 wird $\pi$/6   bzw. 300/5  = 60 Grad)

Z1 = [$\sqrt[10]{8}$, $\pi$/6+2$\pi$/5] 132 Grad

Z2 = [$\sqrt[10]{8}$, $\pi$/6+4$\pi$/5] 204 Grad

Z3 = [$\sqrt[10]{8}$, $\pi$/6+6$\pi$/5] 276 Grad

Z4 = [$\sqrt[10]{8}$, $\pi$/6+8$\pi$/5] 348 Grad

(Z5 = Z0 348 + 72 = 60 Grad (420 -360))

Cosinus bringt nur positive Werte, erst der Sinus zeigt, daß das Ergebnis nicht $\pi$/3 sondern -$\pi$/3 und somit im 4. Quadranten liegt. Sorry, hoffe jetzt passts. Habe lieber den postiven Wert $5\pi$/6 verwendet, da sich -$\pi$/3 schlechter in Winkel umrechnen und dividieren läßt.

Urbanek hat die Lösung mit einem gleichseitigen Dreieck im Einheitskreis erklärt, Seitenlänge 2*$\sqrt{2}$ und halber Grundlänge $\sqrt{2}$. Dieses hat bekanntlich den Winkel 60 Grad oder in diesem Fall -$\pi$/3

Hapi

Lösung von Baccus

Die Lösung von Hapi ist korrekt bis auf das verschluderte Vorzeichen des Imaginärteils:

$\phi =\arctan \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\arctan -\sqrt{3}=-\frac{\pi }{3}$.

Die Zahl Z ist also $Z=[\sqrt{8},-\frac{\pi }{3}]$.

Das in die Wurzel-Formel einsetzen, Rest (fast) wie oben.

$W_0=[\sqrt[5]{\sqrt{8}}=\sqrt[10]{8},\frac{-\frac{\pi }{3}}{5}+0\ast \frac{2\pi }{5}=-\frac{\pi }{15}]$

$W_1=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+1\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{3}]$

$W_2=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+2\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{7\pi }{3}]$

$W_3=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+3\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{13\pi }{3}]$

$W_4=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+4\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{19\pi }{3}]$ Fehler! Ergebnis ist $\frac{23\pi }{3}$

Tips

Manche Übungsbetreuer kommen in Rage, wenn man mit komplexen Zahlen, die offensichtlich im IV. Quadranten liegen, rechnet, als ob sie einen positiven Phasenwinkel hätten. Beim UE-Test wäre das dann ein Durchfaller :-(

Zum Thema "berechnen Sie ohne Taschenrechner":

Unser UE-Leiter meinte dazu, arctan berechnet man entweder mit

1. Taschenrechner,
2. Kenntnis bestimmter Winkel(ergebnisse),
3. Vorgaben in der Test-Angabe.

Na dann. :-(

Baccus

Berechnung von $arctan()$ ohne Taschenrechner

Anhand von $arctan(sqrt(3))$ wie folgt:

Wir wissen ja, Tangens ist in einem rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete / Ankathete. Da das Ergebnis $sqrt(3)$ ist, können wir sagen, die Gegenkathete ist $sqrt(3)$ und die Ankathete ist $1$, liefert ja das richtige Ergebnis für den Tangens. Nun können wir die Hypothenuse dieses Dreiecks durch den Satz von Pythagoras berechnen: $sqrt(1^2+sqrt(3{)}^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2$

Wenn wir dieses Dreieck nun an der Gegenkathete spiegeln, erhalten wir ein weiteres Dreieck, dessen eine Seitenlänge wieder $2$ und deren andere $1$ ist. Die Seitenlängen des große Dreiecks, das so nun entsteht, betragen auf jeder Seite $2$. D.h. es ist gleichseitig. Und gleichseitige Dreiecke haben an jeder Ecke immer einen Winkel von 60° bzw. $\pi /3$. Falls es unklar ist, am besten mal eine Skizze zeichnen.

Quelle: https://www.facebook.com/groups/adm.ws14.sem1/permalink/390108167810185/?comment_id=390115397809462

ad Lösung Baccus

Habe soweit auch Baccus Ergebnisse errechnet nur bei der letzten Addition von $\varphi$ für W_2, W_3 und W_4 (W0+W1 stimmen) hat sich bei der Eingabe ins Wiki wohl ein kleiner Fehler eingeschlichen:

$W_2=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+2\ast \frac{2\pi }{5}$ aber hier $=\frac{11\pi }{15}]$ anstatt von $=\frac{7\pi }{3}$ oder 132 Grad

$W_3=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+3\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{17\pi }{15}]$ oder 204 Grad

$W_4=[\sqrt[10]{8},-\frac{\pi }{15}+4\ast \frac{2\pi }{5}=\frac{23\pi }{15}]$ oder 276 Grad

Kleinigkeit aber dann gibt das ganze auch die Winkel die Hapi errechnet hat im Abstand von 72 Grad. also 348(-$pi/15$), 60, 132, 204 und 276 Ohne euer Vorrechnen wäre ich da aber nie draufgekommen ...

Links

Ähnliche Beispiele: 32,33,34