TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 35

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von \sqrt[5]{\sqrt{2}-\sqrt{6}\mathsf{i}} in der Form [r, \varphi].


Lösung von Hapi[edit]

(Korrigierte Fassung)

entspricht dem Beispiel 34, daher Lösung analog.


Zunächst muß der Vektor Z erstellt werden: Z = \sqrt{2} - \sqrt{6}i in der Form a - bi

Der Betrag von Z = |Z| , berechnet als \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt {8}


Z = |Z| * (cos\phi - i.sin\phi) = \sqrt {8}
 * ( \sqrt{2}/\sqrt {8}
 -i.\sqrt{6}/\sqrt {8} )


 \sqrt{2}/\sqrt {8} = 1/\sqrt {4} = 1/2 ,....

-\sqrt{6}/\sqrt {8} = -\sqrt{3}/\sqrt {4} = 1/2*-\sqrt{3}

Der Cosinus-Wert 1/2 entspricht dem Winkel -60 Grad oder -\pi/3, ebenso der Sinus Wert, da der Wert im 4 Quadranten liegt


Somit haben wir die Polarkoordinaten des Vektors Z: Z = [\sqrt {8}, -\pi/3] bzw. [\sqrt {8}, 5\pi/6] oder 300 Grad


Die fünfte Wurzel ergibt sich dann durch einfaches dividieren, wobei sich jede der 5 Lösungen um 1/5 des Kreises 2*\pi,

somit um 2/5 \pi oder 72 Grad unterscheidet.


Die n-te Wurzel ist dann ganz einfach Zk = [|Z|,\phi/n+k.2*\pi/n], k [0 .. n]


Z0 = [\sqrt[10] {8}, -\pi/6 + 0]

  (5-Wurzel aus der Wurzel von 8 ist die zehnte Wurzel, der Winkel wird einfach durch 5 dividiert,
   d.h aus 5\pi/6 wird \pi/6   bzw. 300/5  = 60 Grad)

Z1 = [\sqrt[10] {8}, \pi/6+2\pi/5] 132 Grad

Z2 = [\sqrt[10] {8}, \pi/6+4\pi/5] 204 Grad

Z3 = [\sqrt[10] {8}, \pi/6+6\pi/5] 276 Grad

Z4 = [\sqrt[10] {8}, \pi/6+8\pi/5] 348 Grad

(Z5 = Z0 348 + 72 = 60 Grad (420 -360))


Cosinus bringt nur positive Werte, erst der Sinus zeigt, daß das Ergebnis nicht \pi/3 sondern -\pi/3 und somit im 4. Quadranten liegt. Sorry, hoffe jetzt passts. Habe lieber den postiven Wert 5\pi/6 verwendet, da sich -\pi/3 schlechter in Winkel umrechnen und dividieren läßt.

Urbanek hat die Lösung mit einem gleichseitigen Dreieck im Einheitskreis erklärt, Seitenlänge 2*\sqrt{2} und halber Grundlänge \sqrt{2}. Dieses hat bekanntlich den Winkel 60 Grad oder in diesem Fall -\pi/3

Hapi

Lösung von Baccus[edit]

Die Lösung von Hapi ist korrekt bis auf das verschluderte Vorzeichen des Imaginärteils:

\varphi=\arctan\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\arctan-\sqrt{3}=-\frac{\pi}{3}.

Die Zahl Z ist also Z=[\sqrt{8}, -\frac{\pi}{3}].

Das in die Wurzel-Formel einsetzen, Rest (fast) wie oben.

W_0=[\sqrt[5]{\sqrt{8}}=\sqrt[10]{8}, \frac{-\frac{\pi}{3}}{5}+0*\frac{2\pi}{5}=-\frac{\pi}{15}]

W_1=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+1*\frac{2\pi}{5}=\frac{\pi}{3}]

W_2=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+2*\frac{2\pi}{5}=\frac{7\pi}{3}]

W_3=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+3*\frac{2\pi}{5}=\frac{13\pi}{3}]

W_4=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+4*\frac{2\pi}{5}=\frac{19\pi}{3}] Fehler! Ergebnis ist \frac{23\pi}{3}


Tips[edit]

Manche Übungsbetreuer kommen in Rage, wenn man mit komplexen Zahlen, die offensichtlich im IV. Quadranten liegen, rechnet, als ob sie einen positiven Phasenwinkel hätten. Beim UE-Test wäre das dann ein Durchfaller :-(


Zum Thema "berechnen Sie ohne Taschenrechner":

Unser UE-Leiter meinte dazu, arctan berechnet man entweder mit

  1. Taschenrechner,
  2. Kenntnis bestimmter Winkel(ergebnisse),
  3. Vorgaben in der Test-Angabe.

Na dann. :-(

Baccus

Berechnung von arctan() ohne Taschenrechner[edit]

Anhand von arctan(sqrt(3)) wie folgt:

Wir wissen ja, Tangens ist in einem rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete / Ankathete. Da das Ergebnis sqrt(3) ist, können wir sagen, die Gegenkathete ist sqrt(3) und die Ankathete ist 1, liefert ja das richtige Ergebnis für den Tangens. Nun können wir die Hypothenuse dieses Dreiecks durch den Satz von Pythagoras berechnen: sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1 + 3) = sqrt(4) = 2

Wenn wir dieses Dreieck nun an der Gegenkathete spiegeln, erhalten wir ein weiteres Dreieck, dessen eine Seitenlänge wieder 2 und deren andere 1 ist. Die Seitenlängen des große Dreiecks, das so nun entsteht, betragen auf jeder Seite 2. D.h. es ist gleichseitig. Und gleichseitige Dreiecke haben an jeder Ecke immer einen Winkel von 60° bzw. \pi/3. Falls es unklar ist, am besten mal eine Skizze zeichnen.

Quelle: https://www.facebook.com/groups/adm.ws14.sem1/permalink/390108167810185/?comment_id=390115397809462

ad Lösung Baccus[edit]

Habe soweit auch Baccus Ergebnisse errechnet nur bei der letzten Addition von \phi für W_2, W_3 und W_4 (W0+W1 stimmen) hat sich bei der Eingabe ins Wiki wohl ein kleiner Fehler eingeschlichen:

W_2=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+2*\frac{2\pi}{5} aber hier  =\frac{11\pi}{15}] anstatt von =\frac{7\pi}{3} oder 132 Grad

W_3=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+3*\frac{2\pi}{5}     =\frac{17\pi}{15}] oder 204 Grad

W_4=[\sqrt[10]{8}, -\frac{\pi}{15}+4*\frac{2\pi}{5}     =\frac{23\pi}{15}] oder 276 Grad

Kleinigkeit aber dann gibt das ganze auch die Winkel die Hapi errechnet hat im Abstand von 72 Grad. also 348(-pi/15), 60, 132, 204 und 276 Ohne euer Vorrechnen wäre ich da aber nie draufgekommen ...

Links[edit]

Ähnliche Beispiele: 32,33,34