Zeigen Sie, daß die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{3}}}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${\vec {x_{1}}}+{\vec {x_{2}}}+{\vec {x_{3}}},{\vec {x_{2}}}+{\vec {x_{3}}},{\vec {x_{3}}}$ linear unabhängig sind.

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Theoretische Grundlagen (von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{n}$ und betrachten:

Vektoren: ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}\in \mathbb {R} ^{n}$
Skalare: $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R}$

Ein Vektor mit der Form ${\vec {y}}=\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$ heißt Linearkombination der Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ .

Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: ${\vec {x_{1}}}=\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\lambda _{3}*{\vec {x_{3}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$

Andernfalls heißen ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: $\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}={\vec {0}}\Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dots =\lambda _{n}=0$