TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 497

Zeigen Sie, daß die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn $\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3},\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3},\overrightarrow{x_3}$ linear unabhängig sind.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)

Wir befinden uns in ${ℝ}^n$ und betrachten:

• Vektoren: $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\in {ℝ}^n$
• Skalare: ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in ℝ$

Ein Vektor mit der Form $\overrightarrow{y}={\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$ heißt Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$.

Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: $\overrightarrow{x_1}={\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\ast \overrightarrow{x_3}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$

Andernfalls heißen $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: ${\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=0$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

${\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\ast \overrightarrow{x_3}=0$

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

${\mu }_1\ast (\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\mu }_2\ast (\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\mu }_3\ast \overrightarrow{x_3}=0$

Wir multiplizieren das aus ...

${\mu }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\mu }_1\ast \overrightarrow{x_2}+{\mu }_1\ast \overrightarrow{x_3}+{\mu }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\mu }_2\ast \overrightarrow{x_3}+{\mu }_3\ast \overrightarrow{x_3}=0$

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

${\mu }_1\ast \overrightarrow{x_1}+({\mu }_1+{\mu }_2)\ast \overrightarrow{x_2}+({\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3)\ast \overrightarrow{x_3}=0$

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

${\lambda }_1=0\Rightarrow {\mu }_1=0$

${\lambda }_2=0\Rightarrow {\mu }_1+{\mu }_2=0\Rightarrow {\mu }_2=0$

${\lambda }_3=0\Rightarrow {\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3=0\Rightarrow {\mu }_3=0\Rightarrow {\mu }_3=0$

${\mu }_1=0\Rightarrow {\lambda }_1=0$

${\mu }_2=0\Rightarrow {\mu }_1+{\mu }_2=0\Rightarrow {\lambda }_2=0$

${\mu }_3=0\Rightarrow {\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3=0\Rightarrow {\lambda }_3=0$

Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:05, 8. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie, dass die Vektoren $x_1,x_2,x_3$ eines Vektorraumes über einen Körper $𝕂$ genau dann linear unabhängig sind, wenn $x_1+x_2+x_3,x_2+x_3,x_3$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl der Vektoren $n\in \mathbb{N}$) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}$ mit ${\lambda }_i=0_{𝕂},\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}.$Anmerkung: Diese Definition ist für endlich viele Vektoren ausgelegt.

Zu zeigen ist, dass die folgende Gleichung mit ${\lambda }_i\in 𝕂$ nur die triviale Lösung haben darf genau dann, wenn die vorgegebene Gleichung mit den ${\mu }_i\in 𝕂$ ebenfalls nur die triviale Lösung hat und umgekehrt$:$

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}⟺{\mu }_1\cdot (\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\mu }_2\cdot (\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\mu }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$ mit ${\lambda }_i=0_{𝕂}$ und ${\mu }_i=0_{𝕂},\mathrm{\forall }i\in \{1,2,3\}$

• Wir zeigen zuerst die Richtung $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}\text{ sind linear unabhängig}⟹(\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),(\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})$ und $\overrightarrow{x_3}$ sind linear unabhängig.

Sei ${\lambda }_1\cdot (\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\lambda }_2\cdot (\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\lambda }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$. Wir lösen diesen Ausdruck nach den Vektoren $\overrightarrow{x_i}$ auf$:$

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+({\lambda }_1+{\lambda }_2)\cdot \overrightarrow{x_2}+({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3)\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$.

Da $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}$ linear unabhängig sind, müssen alle Koeffizienten der Vektoren ${\lambda }_1={\lambda }_1+{\lambda }_2={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0_{𝕂}$ sein.

$⟹{\lambda }_1=0_{𝕂},{\lambda }_1+{\lambda }_2=0_{𝕂}⟹{\lambda }_2=0_{𝕂},{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0_{𝕂}⟹{\lambda }_3=0_{𝕂}$.

D.h. für diese Linearkombination gibt es nur die triviale Lösung$:$:

${\lambda }_1\cdot (\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\lambda }_2\cdot (\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+{\lambda }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$.

D.h. die drei Vektoren $(\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),(\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),\overrightarrow{x_3}$ sind linear unabhängig.

• Und nun die Gegenrichtung $(\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),(\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),\overrightarrow{x_3}\text{ sind linear unabhängig}⟹\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}$ sind linear unabhängig.

Sei ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$. Wir formen diese Gleichung in das benötigte Format um:

$\mapsto {\lambda }_1\cdot (\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot (\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3})+(-{\lambda }_2+{\lambda }_3)\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$.

Da $(\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),(\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_3}),\overrightarrow{x_3}$ linear unabhängig sind, müssen alle Koeffizienten der Vektoren ${\lambda }_1={\lambda }_2-{\lambda }_1={\lambda }_3-{\lambda }_2=0_{𝕂}$ sein.

$⟹{\lambda }_1=0_{𝕂},{\lambda }_2-{\lambda }_1=0_{𝕂}⟹{\lambda }_2=0,{\lambda }_3-{\lambda }_2=0_{𝕂}⟹{\lambda }_3=0$.

D.h. für diese Linearkombination gibt es nur die triviale Lösung$:$:

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\cdot \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$.

D.h. die drei Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}$ sind linear unabhängig.$◼$

Ressourcen

Literatur

• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Skriptum S. 80f.

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Lösung vom WS04 --Michi 19:52, 9. Jan 2006 (CET)
• Datei:Mathe1-sol.pdf

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_496
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_498