Kategorie:Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$, so heißen die Vektoren ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}}$ aus ${\displaystyle V}$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

${\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ aus dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

${\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0}$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie ${\displaystyle ({\vec {v}}_{i})_{i\in I}}$ von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie ${\displaystyle ({\vec {v}}_{i})_{i\in I}}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle J\subseteq I}$ gibt, sowie Koeffizienten ${\displaystyle (a_{j})_{j\in J}}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.}$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]