Kategorie:Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$, so heißen die Vektoren ${\displaystyle {\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n}$ aus ${\displaystyle V}$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

${\displaystyle a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle a_1,a_2,\dots ,a_n}$ aus dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten ${\displaystyle a_i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

${\displaystyle a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0}$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie ${\displaystyle ({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}}$ von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie ${\displaystyle ({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge ${\displaystyle J\subseteq I}$ gibt, sowie Koeffizienten ${\displaystyle (a_j{)}_{j\in J}}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

${\displaystyle \sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.}$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]