TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 505

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des ${\mathbb{Z}}_5^4$ linear unabhängig sind: $(1,2,3,4),(2,3,4,1)$ und $(3,4,2,1)$.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lösungsvorschlag Har203

--Har203 01:52, 5. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des ${\mathbb{Z}}_5^4$ linear unabhängig sind: $(1,2,3,4),(2,3,4,1)$ und $(3,4,2,1)$.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl $k\in \mathbb{N}$ an Vektoren) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben mit:

${\lambda }_i=0,\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,k\},{\lambda }_i\in {\mathbb{Z}}_5:{\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_k\cdot \overrightarrow{v_k}=0$

D.h. in unserem Fall darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

${\lambda }_1\cdot (1,2,3,4{)}^T+{\lambda }_2\cdot (2,3,4,1{)}^T+{\lambda }_3\cdot (3,4,2,1{)}^T=0$

Wir können für diese Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix $A$ aufstellen:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 3& 4& 2\\ 4& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)=\overrightarrow{0_{{\mathbb{Z}}_5}}$

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ bestimmen können. Dafür benötigen wir keine erweiterte Matrix $A$, da auf der rechte Seite des Gleichungssystem sowieso der Nullvektor steht.

Anmerkung: Wir dürfen nicht vergessen, dass wir in ${\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟓}}$ operieren:

$\begin{array}{cc}A=& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 3& 4& 2\\ 4& 1& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ +3\cdot Z1\\ +2\cdot Z1\\ +Z1\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 3\\ 0& 3& 3\\ 0& 3& 4\end{array}\right)\begin{array}{c}+Z3\\ +4\cdot Z3\\ +3\cdot Z2\\ +4\cdot Z3\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}+4\cdot Z4\\ \\ =3\cdot Z3\\ +2\cdot Z4\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

Der Rang der Matrix $A$ ist drei. Das heißt, dass drei Vektoren linear unabhängig sind, also genau die drei vorgegebenen Vektoren.

$⟹$ Das heißt, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind. $◼$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren

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