TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 504

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind: $(-3,3,0,-2),\,(0,7,-1,3)$ und $(-3,1,0,-4)$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lösungsvorschlag Har203

--Har203 11:18, 5. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind: $(-3,3,0,-2),\,(0,7,-1,3)$ und $(-3,1,0,-4)$.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl $k\in \mathbb {N}$ an Vektoren) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben mit:

$\lambda _{i}=0,\,\forall \,i\in \{1,\ldots ,\,k\},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \colon \;\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{k}\cdot {\vec {v_{k}}}=0$

D.h. in unserem Fall darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

$\lambda _{1}\cdot ({\color {green}-3},{\color {green}3},{\color {green}0},{\color {green}-2})^{T}+\lambda _{2}\cdot ({\color {blue}0},{\color {blue}7},{\color {blue}-1},{\color {blue}3})^{T}+\lambda _{3}\cdot ({\color {orange}-3},{\color {orange}1},{\color {orange}0},{\color {orange}-4})^{T}=0$

Wir können für diese Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix $A$ aufstellen:

$A=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}-3}&{\color {blue}0}&{\color {orange}-3}\\{\color {green}3}&{\color {blue}7}&{\color {orange}1}\\{\color {green}0}&{\color {blue}-1}&{\color {orange}0}\\{\color {green}-2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}-4}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{array}}\right)={\vec {0_{\mathbb {R} ^{4}}}}$

Anmerkung: Der kürzeste Lösungsweg würde wieder über die Determinante eines Minors der Matrix $A$ führen.

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ bestimmen können. Dafür benötigen wir keine erweiterte Matrix $A$, da auf der rechte Seite des Gleichungssystem sowieso der Nullvektor steht.

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}-3}&{\color {blue}0}&{\color {orange}-3}\\{\color {green}3}&{\color {blue}7}&{\color {orange}1}\\{\color {green}0}&{\color {blue}-1}&{\color {orange}0}\\{\color {green}-2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}-4}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}(-1/3)\cdot Z1\to Z1\,\\Z2+Z1\to Z2\,\\\,\\2\cdot Z2+3\cdot Z4\to Z4\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&7&-2\\0&-1&0\\0&23&-10\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\Z2+7\cdot Z3\to Z2\,\\-Z3\to Z3\,\\23\cdot Z3+Z4\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&0&-2\\0&1&0\\0&0&-10\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1+(1/2)\cdot Z2\to Z2\,\\(-1/2)\cdot Z2\to Z2\,\\\,\\(-5)\cdot Z2+Z4\to Z4\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Der Rang der Matrix $A$ ist drei. Das heißt, dass drei Vektoren linear unabhängig sind, also genau die drei vorgegebenen Vektoren.

$\implies$ Das heißt, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_499
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_500
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_501
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_502
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_503
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_505