TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 504

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des ${ℝ}^4$ linear unabhängig sind: $(-3,3,0,-2),(0,7,-1,3)$ und $(-3,1,0,-4)$.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lösungsvorschlag Har203

--Har203 11:18, 5. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des ${ℝ}^4$ linear unabhängig sind: $(-3,3,0,-2),(0,7,-1,3)$ und $(-3,1,0,-4)$.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl $k\in \mathbb{N}$ an Vektoren) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben mit:

${\lambda }_i=0,\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,k\},{\lambda }_i\in ℝ:{\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_k\cdot \overrightarrow{v_k}=0$

D.h. in unserem Fall darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

${\lambda }_1\cdot (-3,3,0,-2{)}^T+{\lambda }_2\cdot (0,7,-1,3{)}^T+{\lambda }_3\cdot (-3,1,0,-4{)}^T=0$

Wir können für diese Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix $A$ aufstellen:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& -3\\ 3& 7& 1\\ 0& -1& 0\\ -2& 3& -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)=\overrightarrow{0_{{ℝ}^4}}$

Anmerkung: Der kürzeste Lösungsweg würde wieder über die Determinante eines Minors der Matrix $A$ führen.

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ bestimmen können. Dafür benötigen wir keine erweiterte Matrix $A$, da auf der rechte Seite des Gleichungssystem sowieso der Nullvektor steht.

$\begin{array}{cc}A=& \left(\begin{array}{ccc}-3& 0& -3\\ 3& 7& 1\\ 0& -1& 0\\ -2& 3& -4\end{array}\right)\begin{array}{c}(-1/3)\cdot Z1\to Z1\\ Z2+Z1\to Z2\\ \\ 2\cdot Z2+3\cdot Z4\to Z4\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 7& -2\\ 0& -1& 0\\ 0& 23& -10\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ Z2+7\cdot Z3\to Z2\\ -Z3\to Z3\\ 23\cdot Z3+Z4\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& -2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -10\end{array}\right)\begin{array}{c}Z1+(1/2)\cdot Z2\to Z2\\ (-1/2)\cdot Z2\to Z2\\ \\ (-5)\cdot Z2+Z4\to Z4\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

Der Rang der Matrix $A$ ist drei. Das heißt, dass drei Vektoren linear unabhängig sind, also genau die drei vorgegebenen Vektoren.

$⟹$ Das heißt, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind. $◼$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren

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