TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 500

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbf {\mathbb {Z} _{7}^{4}}$ linear unabhängig sind: $(1,2,3,4),\,(2,3,4,5)$ und $(3,4,5,6)$.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lösungsvorschlag Har203

--Har203 15:03, 5. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbf {\mathbb {Z} _{7}^{4}}$ linear unabhängig sind ($\mathbb {K} =\mathbb {Z} _{7}^{4}$): $(1,2,3,4),\,(2,3,4,5)$ und $(3,4,5,6)$.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl $k\in \mathbb {N}$ an Vektoren) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben mit:

$\lambda _{i}=0,\,\forall \,i\in \{1,\ldots ,\,k\},\,\lambda _{i}\in \mathbb {Z} _{7}\colon \;\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{k}\cdot {\vec {v_{k}}}=0$

D.h. in unserem Fall darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

$\lambda _{1}\cdot ({\color {green}1},{\color {green}2},{\color {green}3},{\color {green}4})^{T}+\lambda _{2}\cdot ({\color {blue}2},{\color {blue}3},{\color {blue}4},{\color {blue}5})^{T}+\lambda _{3}\cdot ({\color {orange}3},{\color {orange}4},{\color {orange}5},{\color {orange}6})^{T}=0$

Wir können für diese Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix $A$ aufstellen:

$A=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{array}}\right)={\vec {0_{\mathbb {Z} _{7}^{4}}}}$

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ bestimmen können. Da es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem handelt, genügt es, den Rang der Koeffizientenmatrix zu bestimmen.

Anmerkung: Wir dürfen nicht vergessen, dass wir in $\mathbf {\mathbb {Z} _{7}^{4}}$ operieren:

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\3\cdot Z2+Z1\to \,\\2\cdot Z3+Z1\to \,\\3\cdot Z4+Z2\to \,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&4&1\\0&3&6\\0&4&1\end{array}}\right){\begin{array}{r|}3\cdot Z2+Z1\,\\2\cdot Z2\to \,\\Z3+Z2\to \,\\6\cdot Z3+Z4\to \,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&6\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Der Rang der Matrix $A$ ist zwei. Eine Matrix hat genau dann linear unabhängige Spalten, wenn ihr Rang gleich der Anzahl der Spalten ist. Da der Rang kleiner als die Anzahl der Spalten ist, sind die Spaltenvektoren nicht linear unabhängig.

$\implies$ Das heißt, dass die drei Vektoren nicht linear unabhängig sind. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren

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