TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 499

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbf {\mathbb {R} ^{4}}$ linear unabhängig sind: $(1,2,3,4),\,(2,3,4,5)$ und $(3,4,5,6)$.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

$A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$

$det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:51, 6. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren des $\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind ($\mathbb {K} =\mathbb {R} ^{4}$): $(1,2,3,4),\,(2,3,4,5)$ und $(3,4,5,6)$.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl $k\in \mathbb {N}$ an Vektoren) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben mit:

$\lambda _{i}=0,\,\forall \,i\in \{1,\ldots ,\,k\},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \colon \;\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{k}\cdot {\vec {v_{k}}}=0$

D.h. in unserem Fall darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

$\lambda _{1}\cdot ({\color {green}1},{\color {green}2},{\color {green}3},{\color {green}4})^{T}+\lambda _{2}\cdot ({\color {blue}2},{\color {blue}3},{\color {blue}4},{\color {blue}5})^{T}+\lambda _{3}\cdot ({\color {orange}3},{\color {orange}4},{\color {orange}5},{\color {orange}6})^{T}=0$

Wir können für diese Gleichung ein lineares Gleichungssystem mit der Matrix $A$ aufstellen:

$A=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{array}}\right)={\vec {0_{\mathbb {R} ^{4}}}}$

Determinante bzw. Minor

Da wir nur drei Vektoren haben, werden wir auch hier die Minoren untersuchen. In diesem Beispiel sind die Vektoren linear abhängig. Daher betrachten wir alle vier Minoren der Matrix $A$ und werden sehen, dass alle vier Determinanten $0$ sein werden. In diesem Fall rechne ich diese Variante nur als Gegenbeispiel durch:

$M_{1}=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\end{array}}\right),\quad M_{2}=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right),\quad M_{3}=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right),\quad M_{4}=\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right)$

Übersicht der vier $(3\times 3)$-Minoren der Matrix $A$:

Kennung	Minor $M_{1}$	Minor $M_{2}$	Minor $M_{3}$	Minor $M_{4}$
Determinante $\det(\,M_{j}\,)$	${\color {red}\det(\,M_{1}\,)=}\,15+24+24$ $\ -27-16-20=63-63{\color {red}\,=0}$	${\color {red}\det(\,M_{2}\,)=}\,48+60+60$ $\ -64-50-54=168-168{\color {red}\,=0}$	${\color {red}\det(\,M_{3}\,)=}\,24+40+45$ $\ -48-25-36=109-109{\color {red}\,=0}$	${\color {red}\det(\,M_{4}\,)=}\,18+32+30$ $\ -36-20-24=80-80{\color {red}\,=0}$
gelöschte Zeile	Zeile $=4$	Zeile $=1$	Zeile $=2$	Zeile $=3$

Die Vorgangsweise bei den zu überprüfenden Minoren ist, dass sobald die Determinante nur eines der vier möglichen Minoren ${\color {green}M_{j},\,\det(\,M_{j}\,)\neq 0}$ ist, wir daraus schließen können, dass die Matrix $A$ vollen Spaltenrang hat, also alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Umgekehrt, falls die Determinante eines Minors $\mathbf {M_{j},\,\det(\,M_{j}\,)=0}$ ist, können wir noch keine Aussage über den Rang der Matrix $A$ tätigen. Erst, wenn alle Minoren die Determinante ${\color {green}M_{j},\,\det(\,M_{j}\,)=0,\,\forall \,j\in \{1,2,3,4\}}$ können wir bestätigen, dass der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Spaltenvektoren ist und somit diese nicht linear unabhängig sind.

• Die Determinante des ersten $(3\times 3)$-Minors $M_{1}\colon \,\det(\,M_{1}\,)=0\implies$ Das heißt, wir können noch keine Aussage über den Rang der Matrix $A$ tätigen. Wir schauen uns den nächsten Minor an:

• Die Determinante von $M_{2}\colon \,\det(\,M_{2}\,)=0\implies$ Das heißt, wir können noch immer keine Aussage über den Rang der Matrix $A$ tätigen. Wir schauen uns den nächsten Minor an:

• Die Determinante von $M_{3}\colon \,\det(\,M_{3}\,)=0\implies$ Das heißt, wir können noch immer keine Aussage über den Rang der Matrix $A$ tätigen. Wir schauen uns noch den letzten Minor an:

• Die Determinante von $M_{4}\colon \,\det(\,M_{4}\,)=0\implies$ Die Determinante des vierten $(3\times 3)$-Minors $M_{4},\det(\,M_{4}\,)=0$.

Damit sind die Determinanten aller vier $(3\times 3)$-Minoren $M_{j},\,j\in \{1,\,2,\,3,\,4\},$ mit $\det(\,M_{j}\,)=0$. Das heißt, dass der Rang der Matrix $A,\operatorname {rg} (\,A\,)\leq 2$ sein muss.

Eine Matrix hat genau dann linear unabhängige Spalten, wenn ihr Rang gleich der Anzahl der Spalten ist. Da der Rang kleiner der Anzahl der Spalten ist, sind die Spaltenvektoren – also die drei gegebenen Vektoren – nicht linear unabhängig. $\qquad \qquad \blacksquare$

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ bestimmen können. Da es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem handelt, genügt es, den Rang der Koeffizientenmatrix zu bestimmen.

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{rrr}{\color {green}1}&{\color {blue}2}&{\color {orange}3}\\{\color {green}2}&{\color {blue}3}&{\color {orange}4}\\{\color {green}3}&{\color {blue}4}&{\color {orange}5}\\{\color {green}4}&{\color {blue}5}&{\color {orange}6}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\Z2-2\cdot Z1\to \,\\Z3-3\cdot Z1\to \,\\Z4-4\cdot Z1\to \,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\\0&-3&-6\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1+Z3\to \,\\(-1)\cdot Z2\to \,\\Z3-2\cdot Z2\to \,\\Z4-3\cdot Z2\to \,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}$

Der Rang der Matrix $A$ ist zwei. Eine Matrix hat genau dann linear unabhängige Spalten, wenn ihr Rang gleich der Anzahl der Spalten ist. Da der Rang kleiner als die Anzahl der Spalten ist, sind die Spaltenvektoren nicht linear unabhängig.

$\implies$ Das heißt, dass die drei Vektoren nicht linear unabhängig sind. $\qquad \qquad \blacksquare$

Beispiel der Abhängigkeit

$1\cdot (1,2,3,4)-2\cdot (2,3,4,5)+1\cdot (3,4,5,6)={\vec {0_{\mathbb {R} ^{4}}}}$.

Anmerkung: In diesem Beispiel sind alle drei Vektoren paarweise linear unabhängig. In Summe sind diese jedoch linear abhängig.

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren

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