Kategorie:Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5}$

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix ${\displaystyle \lambda }$ mit einem Faktor ${\displaystyle \lambda \in K}$, so ist die Determinante der neuen Matrix ${\displaystyle det(A')=\lambda *det(A)}$. z.B.: ${\displaystyle \lambda =3}$ multipliziert mit 1. Spalte: ${\displaystyle detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15}$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: ${\displaystyle detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5}$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix ${\displaystyle det(A_{r})=-det(A)}$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: ${\displaystyle detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5}$