Kategorie:Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)}$

${\displaystyle det(A)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\ast 4-1\ast 3=5}$

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix ${\displaystyle \lambda }$ mit einem Faktor ${\displaystyle \lambda \in K}$, so ist die Determinante der neuen Matrix ${\displaystyle det(A^{\prime })=\lambda \ast det(A)}$. z.B.: ${\displaystyle \lambda =3}$ multipliziert mit 1. Spalte: ${\displaystyle det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 9& 4\end{array}\right|=6\ast 4-1\ast 9=15}$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: ${\displaystyle det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 10\end{array}\right|=2\ast 10-3\ast 5=5}$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix ${\displaystyle det(A_r)=-det(A)}$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: ${\displaystyle det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\ast 3-2\ast 4=-5}$