TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 557

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrr}-4&1&-2&3&5\\5&2&3&-4&-6\\6&3&-4&5&7\\7&-4&5&-6&-8\end{array}}\right)$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von lautzi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wenden wie bei den vorigen Aufgaben den Gauß'schen Algorithmus an.

${\begin{pmatrix}-4&1&-2&3&5\\5&2&3&-4&-6\\6&3&-4&5&7\\7&-4&5&-6&-8\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen Spalte 1 mit Spalte 2, um den 1er ins linke obere Eck zu bringen.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\2&5&3&-4&-6\\3&6&-4&5&7\\-4&7&5&-6&-8\end{pmatrix}}$

Nun beginnen wir damit 0en in allen der ersten Spalte unterhalb der Diagonale zu erzeugen mit: ${\textstyle Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1},Z_{3}\leftarrow Z_{3}-3*Z_{1},Z_{4}\leftarrow Z_{4}+4*Z_{1}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&13&7&-10&-16\\0&18&2&-4&-8\\0&-9&-3&6&12\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen nun Zeile 2 und Zeile 4, damit wir nicht mit 13 aus Zeile 2 rechnen müssen.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&18&2&-4&-8\\0&13&7&-10&-16\end{pmatrix}}$

Und wir skalieren noch die neue Zeile 4 mit 9, damit wir uns wiederum beim rechnen leichter tun.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&18&2&-4&-8\\0&117&63&-90&-144\end{pmatrix}}$

Jetzt erzeugen wir die 0en in der zweiten Spalte unterhalb der Diagonale mit: ${\textstyle Z_{3}\leftarrow Z_{3}+2*Z_{2},Z_{4}\leftarrow Z_{4}+13*Z_{2}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&0&-4&8&16\\0&0&24&-12&12\end{pmatrix}}$

Und zu guter Letzt kommen der eine 0er in der dritten Spalte unterhalb der Diagonale dran: ${\textstyle Z_{4}\leftarrow Z_{4}+6*Z_{3}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&0&-4&8&16\\0&0&0&36&108\end{pmatrix}}$

Wir haben nun eine Matrix in ihrer Diagonalform, jedoch keine leeren Zeilen. Daraus folgt, dass der Rang der Matrix 4 ist.

--Lautzi 17:57, 8. Jan. 2026 (CET)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$ $det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$ , so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$ . z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$ . z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben: