TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 557

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left(\begin{array}{ccccc}-4& 1& -2& 3& 5\\ 5& 2& 3& -4& -6\\ 6& 3& -4& 5& 7\\ 7& -4& 5& -6& -8\end{array}\right)$

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Lösungsvorschlag von lautzi

Wir wenden wie bei den vorigen Aufgaben den Gauß'schen Algorithmus an.

$\left(\begin{array}{ccccc}-4& 1& -2& 3& 5\\ 5& 2& 3& -4& -6\\ 6& 3& -4& 5& 7\\ 7& -4& 5& -6& -8\end{array}\right)$

Wir vertauschen Spalte 1 mit Spalte 2, um den 1er ins linke obere Eck zu bringen.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 2& 5& 3& -4& -6\\ 3& 6& -4& 5& 7\\ -4& 7& 5& -6& -8\end{array}\right)$

Nun beginnen wir damit 0en in allen der ersten Spalte unterhalb der Diagonale zu erzeugen mit: $Z_2\leftarrow Z_2-2\ast Z_1,Z_3\leftarrow Z_3-3\ast Z_1,Z_4\leftarrow Z_4+4\ast Z_1$

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 0& 13& 7& -10& -16\\ 0& 18& 2& -4& -8\\ 0& -9& -3& 6& 12\end{array}\right)$

Wir vertauschen nun Zeile 2 und Zeile 4, damit wir nicht mit 13 aus Zeile 2 rechnen müssen.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 0& -9& -3& 6& 12\\ 0& 18& 2& -4& -8\\ 0& 13& 7& -10& -16\end{array}\right)$

Und wir skalieren noch die neue Zeile 4 mit 9, damit wir uns wiederum beim rechnen leichter tun.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 0& -9& -3& 6& 12\\ 0& 18& 2& -4& -8\\ 0& 117& 63& -90& -144\end{array}\right)$

Jetzt erzeugen wir die 0en in der zweiten Spalte unterhalb der Diagonale mit: $Z_3\leftarrow Z_3+2\ast Z_2,Z_4\leftarrow Z_4+13\ast Z_2$

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 0& -9& -3& 6& 12\\ 0& 0& -4& 8& 16\\ 0& 0& 24& -12& 12\end{array}\right)$

Und zu guter Letzt kommen der eine 0er in der dritten Spalte unterhalb der Diagonale dran: $Z_4\leftarrow Z_4+6\ast Z_3$

$\left(\begin{array}{ccccc}1& -4& -2& 3& 5\\ 0& -9& -3& 6& 12\\ 0& 0& -4& 8& 16\\ 0& 0& 0& 36& 108\end{array}\right)$

Wir haben nun eine Matrix in ihrer Diagonalform, jedoch keine leeren Zeilen. Daraus folgt, dass der Rang der Matrix 4 ist.

--Lautzi 17:57, 8. Jan. 2026 (CET)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ $det(A)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\ast 4-1\ast 3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A^{\prime })=\lambda \ast det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 9& 4\end{array}\right|=6\ast 4-1\ast 9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 10\end{array}\right|=2\ast 10-3\ast 5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_r)=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\ast 3-2\ast 4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rk}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:18, 6. Mär. 2026 (CET)

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left(\begin{array}{ccccc}-4& 1& -2& 3& 5\\ 5& 2& 3& -4& -6\\ 6& 3& -4& 5& 7\\ 7& -4& 5& -6& -8\end{array}\right)$

Wir werden nun den Rang der Matrix $A$bestimmen:

$\begin{array}{cc}A=& \left(\begin{array}{ccccc}-4& 1& -2& 3& 5\\ 5& 2& 3& -4& -6\\ 6& 3& -4& 5& 7\\ 7& -4& 5& -6& -8\end{array}\right)\begin{array}{c}(-1/4)\cdot Z1\to Z1\\ (1/5)\cdot Z2+(1/4)\cdot Z1\to Z2\\ (1/6)\cdot Z3+(1/4)\cdot Z1\to Z3\\ (1/7)\cdot Z4+(1/4)\cdot Z1\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& (-1/4)& (2/4)& (-3/4)& (-5/4)\\ 0& (13/20)& (2/20)& (-1/20)& (1/20)\\ 0& (9/12)& (-14/12)& (19/12)& (29/12)\\ 0& (-9/28)& (6/28)& (-3/28)& (3/28)\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ (20/13)\cdot Z2\to Z2\\ (12/9)\cdot Z3-(20/13)\cdot Z2\to Z3\\ (-28/9)\cdot Z4-(20/13)\cdot Z2\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& (-1/4)& (2/4)& (-3/4)& (-5/4)\\ 0& 1& (2/13)& (-1/13)& (1/13)\\ 0& 0& (-200/117)& (256/117)& (368/117)\\ 0& 0& (66/117)& (30/117)& (-48/117)\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ Z3\cdot (1/(117\cdot 8))\to Z3\\ Z3\cdot (1/(117\cdot 6))\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& (-1/4)& (2/4)& (-3/4)& (-5/4)\\ 0& 1& (2/13)& (-1/13)& (1/13)\\ 0& 0& -25& 32& 46\\ 0& 0& 11& 5& -8\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ (-1/23)\cdot Z3\to Z3\\ (1/11)\cdot Z4+(1/25)\cdot Z3\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& (-1/4)& (2/4)& (-3/4)& (-5/4)\\ 0& 1& (2/13)& (-1/13)& (1/13)\\ 0& 0& 1& (-32/25)& (-46/25)\\ 0& 0& 0& (-227/275)& (-706/275)\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \\ (-275/227)\cdot Z4\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& (-1/4)& (2/4)& (-3/4)& (-5/4)\\ 0& 1& (2/13)& (-1/13)& (1/13)\\ 0& 0& 1& (-32/25)& (-46/25)\\ 0& 0& 0& 1& (706/227)\end{array}\right)\end{array}$

D.h. der Rang $\mathrm{rk}(A)=4$. Die Matrix $A$ besteht aus vier linear unabhängigen Zeilenvektoren. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Äquivalenzumformung
• Rang einer Matrix

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