TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 557

Bestimmen sie den Rang der folgenden reellen Matrix:

${\begin{pmatrix}-4&1&-2&3&5\\5&2&3&-4&-6\\6&3&-4&5&7\\7&-4&5&-6&-8\end{pmatrix}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von lautzi

Wir wenden wie bei den vorigen Aufgaben den Gauß'schen Algorithmus an.

${\begin{pmatrix}-4&1&-2&3&5\\5&2&3&-4&-6\\6&3&-4&5&7\\7&-4&5&-6&-8\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen Spalte 1 mit Spalte 2, um den 1er ins linke obere Eck zu bringen.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\2&5&3&-4&-6\\3&6&-4&5&7\\-4&7&5&-6&-8\end{pmatrix}}$

Nun beginnen wir damit 0en in allen der ersten Spalte unterhalb der Diagonale zu erzeugen mit: ${\textstyle Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1},Z_{3}\leftarrow Z_{3}-3*Z_{1},Z_{4}\leftarrow Z_{4}+4*Z_{1}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&13&7&-10&-16\\0&18&2&-4&-8\\0&-9&-3&6&12\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen nun Zeile 2 und Zeile 4, damit wir nicht mit 13 aus Zeile 2 rechnen müssen.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&18&2&-4&-8\\0&13&7&-10&-16\end{pmatrix}}$

Und wir skalieren noch die neue Zeile 4 mit 9, damit wir uns wiederum beim rechnen leichter tun.

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&18&2&-4&-8\\0&117&63&-90&-144\end{pmatrix}}$

Jetzt erzeugen wir die 0en in der zweiten Spalte unterhalb der Diagonale mit: ${\textstyle Z_{3}\leftarrow Z_{3}+2*Z_{2},Z_{4}\leftarrow Z_{4}+13*Z_{2}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&0&-4&8&16\\0&0&24&-12&12\end{pmatrix}}$

Und zu guter Letzt kommen der eine 0er in der dritten Spalte unterhalb der Diagonale dran: ${\textstyle Z_{4}\leftarrow Z_{4}+6*Z_{3}}$

${\begin{pmatrix}1&-4&-2&3&5\\0&-9&-3&6&12\\0&0&-4&8&16\\0&0&0&36&108\end{pmatrix}}$

Wir haben nun eine Matrix in ihrer Diagonalform, jedoch keine leeren Zeilen. Daraus folgt, dass der Rang der Matrix 4 ist.

--Lautzi 17:57, 8. Jan. 2026 (CET)