TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 560

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Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

(1−23−456−23−45−6−73−45−678−45−67−8−9)
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Hilfreiches von Har203

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Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn ∀x→,y→∈V,∀λ,μ∈K folgendes gilt:

  1. λ⋅(x→+y→)=λx→+λy→
  2. (λ+μ)⋅x→=λx→+μx
  3. (λ⋅μ)⋅x→=λ⋅(μx→)
  4. 1⋅x→=x→
Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei A=(2134) det(A)=|2134|=2∗4−1∗3=5 Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

  1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix λ mit einem Faktor λ∈K, so ist die Determinante der neuen Matrix det(A′)=λ∗det(A). z.B.: λ=3 multipliziert mit 1. Spalte: detA′=|6194|=6∗4−1∗9=15
  2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: detA′=|25310|=2∗10−3∗5=5
  3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix det(Ar)=−det(A). z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: detA′=|1243|=1∗3−2∗4=−5
Rang

Bei einer linearen Abbildung f ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

rk⁡(f)=dim⁡(im⁡(f)), also dem Bild der Abbildung f.

Lösungsvorschlag von Har203

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--Har203 16:03, 6. Mär. 2026 (CET) Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

(1−23−456−23−45−6−73−45−678−45−67−8−9)


Wir werden nun den Rang der Matrix A bestimmen:


A=(1−23−456−23−45−6−73−45−678−45−67−8−9)Z2+2⋅Z1→Z2Z3−3⋅Z1→Z3Z4+4⋅Z1→Z4→(1−23−4560−12−34502−46−8−100−36−91215)Z1+Z3→Z1(−1)⋅Z2→Z2Z3+2⋅Z2→Z3(−1)⋅Z4+3⋅Z2→Z4→(10−12−3−401−23−4−5000000000000)


D.h. der Rang rk⁡(A)=2. Die Matrix A besteht aus zwei linear unabhängigen Zeilenvektoren. ◼

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Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

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