TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 558

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 5& 6& 7& 8\end{array}\right)$

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ $det(A)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\ast 4-1\ast 3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A^{\prime })=\lambda \ast det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 9& 4\end{array}\right|=6\ast 4-1\ast 9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 10\end{array}\right|=2\ast 10-3\ast 5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_r)=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\ast 3-2\ast 4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rk}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:20, 6. Mär. 2026 (CET) Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 5& 6& 7& 8\end{array}\right)$

Wir werden nun den Rang der Matrix $A$ bestimmen:

$\begin{array}{cc}A=& \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 5& 6& 7& 8\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ Z2-2\cdot Z1\to Z2\\ Z3-3\cdot Z1\to Z3\\ Z4-4\cdot Z1\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 0& 3& -2& 7& -4\\ 0& 4& -4& 9& -8\\ 0& 5& -6& 11& -12\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ (1/3)\cdot Z2\to Z2\\ (1/4)\cdot Z3-(1/3)\cdot Z2\to Z3\\ (1/5)\cdot Z4-(1/3)\cdot Z2\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 0& 1& (-2/3)& (7/3)& (-4/3)\\ 0& 0& -(1/3)& -(1/12)& (-2/3)\\ 0& 0& (-8/15)& -(2/15)& (-16/15)\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ (-3)\cdot Z3\to Z3\\ (-15/8)\cdot Z4+3\cdot Z3\to Z4\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& -1& 5\\ 0& 1& (-2/3)& (7/3)& (-4/3)\\ 0& 0& 1& (1/4)& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

D.h. der Rang $\mathrm{rk}(A)=3$. Die Matrix $A$ besteht aus drei linear unabhängigen Zeilenvektoren. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Äquivalenzumformung
• Rang einer Matrix

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