TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 558

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrr}1&0&3&-1&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\end{array}}\right)$

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$ $det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rk} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:20, 6. Mär. 2026 (CET) Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrr}1&0&3&-1&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\end{array}}\right)$

Wir werden nun den Rang der Matrix $A$ bestimmen:

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&3&-1&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\Z2-2\cdot Z1\to Z2\,\\Z3-3\cdot Z1\to Z3\,\\Z4-4\cdot Z1\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&3&-1&5\\0&3&-2&7&-4\\0&4&-4&9&-8\\0&5&-6&11&-12\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\(1/3)\cdot Z2\to Z2\,\\(1/4)\cdot Z3-(1/3)\cdot Z2\to Z3\,\\(1/5)\cdot Z4-(1/3)\cdot Z2\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&3&-1&5\\0&1&(-2/3)&(7/3)&(-4/3)\\0&0&-(1/3)&-(1/12)&(-2/3)\\0&0&(-8/15)&-(2/15)&(-16/15)\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\\,\\(-3)\cdot Z3\to Z3\,\\(-15/8)\cdot Z4+3\cdot Z3\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&3&-1&5\\0&1&(-2/3)&(7/3)&(-4/3)\\0&0&1&(1/4)&2\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}$

D.h. der Rang $\operatorname {rk} (\,A\,)=3$. Die Matrix $A$ besteht aus drei linear unabhängigen Zeilenvektoren. $\qquad \quad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Äquivalenzumformung
• Rang einer Matrix

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