TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 554

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrix:

$A={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\\\end{pmatrix}}$

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Lösungsvorschlag von ~~~

Lineare Zeilenumformungen:

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\\\end{pmatrix}}$

- die zweite Zeile - 2* die erste Zeile

- die dritte Zeile -3* die erste Zeile

- die vierte Zeile -4* die erste Zeile

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\0&-1&-2&-3&-4\\0&-2&-4&-6&-8\\0&-3&-6&-9&-12\\\end{pmatrix}}$

- die dritte Zeile -2* die zweite Zeile

- die vierte Zeile -3* die zweite Zeile

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\0&-1&-2&-3&-4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

Die Matrix hat daher den rg(A) = 2.

Bestimmen Sie den Rang folgender reellen Matrizen:

Hilfsmittel von Har203

Zeilen-/Spaltenrang

Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $ZR(A)$ als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus $A$. Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren

Analog definiert man den Spaltenraum $SR(A)$ und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Elementen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist. Dies gilt für Matrizen über einem beliebigen kommutativen Ring, der kein Körper ist, im Allgemeinen nicht.

• Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.<ref>Falko Lorenz.
• Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert:

$\operatorname {rang} (f)=\dim(\operatorname {Bild} (f)).$

Hier gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben.

Lösung von Har203

${\begin{alignedat}{1}A={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&6\\3&4&5&6&7\\4&5&6&7&8\end{pmatrix}}\\\end{alignedat}}\implies$ ${\begin{alignedat}{1}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\0&-1&-2&-3&-4\\0&-2&-4&-6&-8\\0&-3&-6&-9&-12\end{pmatrix}}\\\end{alignedat}}\implies$ ${\begin{alignedat}{1}&{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\0&-1&-2&-3&-4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\\\end{alignedat}}$

1.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}Z4=&Z4-4*Z1\\Z3=&Z3-3*Z1\\Z2=&Z2-2*Z1\end{alignedat}}$

2.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}Z3=&Z3-2*Z2\\Z4=&Z4-3*Z2\end{alignedat}}$

$\implies \operatorname {Rang} (A)=2$.

Der Rang der Matrix $A$ ist 2, da in der umgeformten Matrix nur zwei Zeilenvektoren ungleich $0$ sind.

$\quad \blacksquare$