TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 495

Untersuchen Sie, ob $B=\{\,(0,7,4),\,(-2,4,-5),\,(6,2,-1)\,\}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

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Hilfreiches von Har203

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{{\overrightarrow {b_{1}}},{\overrightarrow {b_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {b_{n}}}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\forall {\overrightarrow {x}}\in$ Vektorraum: $\exists \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ ($K$ Körper): ${\overrightarrow {x}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {b_{1}}}+\lambda _{2}{\overrightarrow {b_{2}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {b_{n}}},\quad$($\lambda _{i}$ eindeutig bestimmt).

Lineare Unabhängigkeit Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.
[1] Hauptartikel: [Matrix (Zeilen und Spalten)]

Determinante

Determinante Eigenschaften

• Eigenschaften der Determinante

1. $\det E=1$ für Einheitsmatrix $E$
2. $\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)$, wobei $A^{\textsf {T}}$ die transponierte Matrix von $A$ ist.
3. $\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.$
4. Für quadratische Matrizen $A$ und $B$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

5. $\det(cA)=c^{n}\det(A)$ für eine $n\times n$ Matrix $A$ und eine Zahl $c$.
6. Für eine Dreiecksmatrix $A$ gilt $\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und $c$ eine Zahl, so gelten:

    a1) $\det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})=\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})$,

    a2) $\det({\color {red}c}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) $\det(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für $3\times 3$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$ $det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:58, 9. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $B=\{\,(0,7,4),\,(-2,4,-5),\,(6,2,-1)\,\}$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl der Vektoren $n\in \mathbb {N}$) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v_{n}}}={\vec {0}}$ mit $\lambda _{i}=0,\,\forall \,i\in \{1,\ldots ,\,n\}.\qquad$.

Zu zeigen ist, dass die angegebenen drei Vektoren ein System von linear unabhängigen Vektoren aus $\mathbb {R} ^{3}$ bilden. Außerdem muss die lineare Hülle den gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ aufspannen, was durch die lineare Unabhängigkeit sofort erfüllt wird.

Dafür werden wir eine $(3\times 3)$-Matrix $A$ mit den drei Vektoren als Spaltenvektoren aufstellen und überprüfen, ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind.

Eine Variante führt uns direkt über die Determinante und eine andere über Spalten- bzw. Zeilenumformungen der Matrix $A$.

$A=\left({\begin{array}{rrr}0&-2&6\\7&4&2\\4&-5&-1\end{array}}\right)$.

Determinante

Nach der Regel von Sarrus ist die Determinante von $A,\det(\,A\,)=-336\neq 0$.

$\implies$ Die Matrix ist regulär (invertierbar) und hat damit den vollen Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,A\,)=3$, also sind alle drei Vektoren linear unabhängig und spannen den gesamten $\mathbb {R} ^{3}$ auf.

Diese Schlussfolgerungen erfüllen bereits ausreichend die Aufgabenstellung. $\qquad \qquad \blacksquare$

Matrix-Umformungen

Wir formen die Matrix $A$ auf eine Stufenmatrix um und beurteilen, wie viele Vektoren linear unabhängig sind. Hier führe ich die Umformungen bis zur Einheitsmatrix durch.

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{rrr}0&-2&6\\7&4&2\\4&-5&-1\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}(-1/2)\cdot Z1\to Z2\,\\(1/7)\cdot Z2\to Z1\,\\7\cdot Z3-4\cdot Z2\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&4/7&2/7\\0&1&-3\\0&-51&-15\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1-(4/7)\cdot Z2\,\\\,\\(-1/3)\cdot Z3-17\cdot Z2\to \,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{rrr}1&0&2\\0&1&-3\\0&0&56\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1-(2/56)\cdot Z3\,\\Z2+(3/56)\cdot Z3\to \,\\(1/56)\cdot Z3\to \,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}$

Das heißt alle drei Vektoren sind linear unabhängig und als Basis für den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ geeignet.

Auch hier erfüllen alle Schlussfolgerungen die Aufgabenstellung. $\qquad \qquad \blacksquare$

Lineare Hülle

Zusätzlich muss die lineare Hülle den gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ aufspannen. Das ist aber alleine schon durch die lineare Unabhängigkeit der drei Basisvektoren erfüllt. Wir können es hier noch einmal für einen allgemeinen Vektor nachrechnen.

Sei ${\vec {x}}=(\,x_{1},\,x_{2},\,x_{3})$ ein beliebiger Vektor aus dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$. Zu zeigen ist, dass dieser Vektor als Linearkombination der drei Basisvektoren erzeugt werden kann.

${\begin{alignedat}{1}B=&\left({\begin{array}{rrr|r}0&-2&6&x_{1}\\7&4&2&x_{2}\\4&-5&-1&x_{3}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}(-1/2)\cdot Z1\to Z2\,\\(1/7)\cdot Z2\to Z1\,\\7\cdot Z3-4\cdot Z2\to Z3\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr|r}1&4/7&2/7&(1/7)\cdot x_{2}\\0&1&-3&(-1/2)\cdot x_{1}\\0&-51&-15&7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1-(4/7)\cdot Z2\to Z1\,\\\,\\(-1/3)\cdot Z3-17\cdot Z2\to Z3\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{rrr|r}1&0&2&(1/7)\cdot x_{2}-(4/7)\cdot (-1/2)\cdot x_{1}\\0&1&-3&(-1/2)\cdot x_{1}\\0&0&56&(-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1}\end{array}}\right){\begin{array}{r|}Z1-(1/28\cdot Z3)\to Z1\,\\Z2+(3/56)\cdot Z3\to Z2\,\\(1/56)\cdot Z3\to Z3\,\end{array}}\\&\left({\begin{array}{rrr|r}1&0&0&(1/7)\cdot x_{2}-(4/7)\cdot (-1/2)\cdot x_{1}-(1/28)\cdot ((-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1})\\0&1&0&((-1/2)\cdot x_{1})+(3/56)\cdot ((-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1})\,\\0&0&1&(1/56)\cdot (-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1})\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Anmerkung: Die Terme habe ich nicht vereinfacht, da mögliche Rechenfehler in dieser Form einfach zu korrigieren sind.

Die Darstellung eines Vektors ${\vec {x}}$ ist eindeutig durch die Linearkombination definiert durch die drei Gleichungen:

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}&=(1/7)\cdot x_{2}-(4/7)\cdot (-1/2)\cdot x_{1}-(1/28)\cdot ((-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1})\\&\lambda _{2}&=((-1/2)\cdot x_{1})+(3/56)\cdot ((-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1})\\&\lambda _{3}&=(1/56)\cdot (-1/3)\cdot (7\cdot x_{3}-4\cdot x_{2})-17\cdot (-1/2)\cdot x_{1}\end{alignedat}}$

D.h., dass wir die oben angeführten Werte für $\lambda _{i},\,i=\{1,2,3\}$ in der Linearkombination der drei linear unabhängigen Basisvektor für einen gesuchten Vektor ${\vec {x}}=(\,x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\,)$ in eindeutiger Weise erhalten. D.h. jeder Vektor aus $\mathbb {R} ^{3}$ hat infolge der Linearenunabhängigkeit der drei Basisvektoren eine eindeutige Darstellung.

Abbildungsmatrix

Wir können auch sagen, dass die lineare Abbildung, die durch die $(3\times 3)$-Matrix $A$ definiert wird, durch den Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,A\,)=3$ und alternativ durch die Determinante $\det(\,A\,)\neq 0$ regulär, invertierbar und sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv ist:

$\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} ^{3},\operatorname {im} (\,A(\,\mathbb {R} ^{3}\,)\,)=\mathbb {R} ^{3},\,\operatorname {ker} (\,A\,)=\{{\vec {0}}\},\,\operatorname {def} (\,A\,)=0$.

Links

Wikipedia:

• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_493
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_494