TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 516

Sei $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&-2\end{pmatrix}}$. Untersuchen Sie, ob die Matrizen $I_{2},A$ und $A^{2}$ im Vektorraum der reellen $2*2$-Matrizen linear unabhängig sind.

Lösungsvorschlag von sleepwalker

$A^{2}={\begin{pmatrix}7&-2\\-3&10\end{pmatrix}}$

$I_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$0=\lambda _{1}*A+\lambda _{2}*A^{2}+\lambda _{3}*I_{2}$
$0=\lambda _{1}+7*\lambda _{2}+\lambda _{3}$
$0=2*\lambda _{1}-2*\lambda _{2}$
$0=3*\lambda _{3}-3*\lambda _{2}$
$0=-2*\lambda _{1}+10*\lambda _{2}+\lambda _{3}$

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{1}\\-8*\lambda _{1}\end{pmatrix}}$ ist eine nichttriviale Lösung der Gleichung d.h. linear abhängig