TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 518

Sei $A=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&-1\end{array}}\right)$ und $B=\left({\begin{array}{cc}1&1\\-2&3\end{array}}\right)$.

Untersuchen Sie, ob die Matrizen $A,\,B$ und $B^{\,2}$ im Vektorraum der reellen $2\times 2$-Matrizen linear unabhāngig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}$ mit $\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

$A\colon \{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}\to K,\quad (i,j)\mapsto a_{ij},$

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge $\operatorname {Abb} \left(\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\},K\right)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^{m}K^{n}$ benutzt.

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

$A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$

$det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.

Definition Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

$\operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum von $V$.

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $A=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&-1\end{array}}\right)$ und $B=\left({\begin{array}{cc}1&1\\-2&3\end{array}}\right)$.

Untersuchen Sie, ob die Matrizen $A,\,B$ und $B^{\,2}$ im Vektorraum der reellen $2\times 2$-Matrizen linear unabhāngig sind.

• Wir berechnen zuerst das Quadrat der Matrix $B\colon \,C=B^{\,2}$:

$C=B^{\,2}={\begin{pmatrix}1&1\\-2&3\end{pmatrix}}\,\cdot \,{\begin{pmatrix}1&1\\-2&3\end{pmatrix}}\,=\,{\begin{pmatrix}-1&4\\-8&7\end{pmatrix}}$

Wir haben nun alle drei ($\mathbf {k=3}$) Matrizen$\colon$

$A={\begin{pmatrix}\color {green}1&\color {orange}2\\\color {blue}3&\color {red}-1\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}\color {green}1&\color {orange}1\\\color {blue}-2&\color {red}3\end{pmatrix}}$ und $C=B^{\,2}={\begin{pmatrix}\color {green}-1&\color {orange}4\\\color {blue}-8&\color {red}7\end{pmatrix}}$ gegeben.

• Wir können entweder die Matrizen in Vektoren umwandeln (Methode 1), daraus eine große Matrix erstellen und den Rang dieser Matrix bestimmen oder ein Gleichungssystem mit $\lambda$s und Matrizen aufstellen (Methode 2).

Matrizen in Vektoren umwandeln (Methode 1)

Wir formen alle Matrizen entweder in Spalten bzw. Zeilenvektoren um - aber immer nur eine Variante davon auswählen. Ich werde von den Matrizen nacheinander alle Zeilen hernehmen und diese in einen Spaltenvektoren umwandeln:

$A\mapsto {\vec {v_{1}}}=\left(\color {green}1,\,\color {orange}2,\,\color {blue}3,\ \color {red}-1\right)^{T}\quad B\mapsto {\vec {v_{2}}}=\left(\color {green}1,\,\color {orange}1,\,\color {blue}-2,\,\color {red}3\right)^{T}\quad C=B^{\,2}\mapsto {\vec {v_{3}}}=\left(\color {green}-1,\,\color {orange}4,\,\color {blue}-8,\,\color {red}7\right)^{T}$

D.h. die erweiterte Matrix $D=\left({\begin{array}{crr}\color {green}1&\color {green}1&\color {green}-1\\\color {orange}2&\color {orange}1&\color {orange}4\\\color {blue}3&\color {blue}-2&\color {blue}-8\\\color {red}-1&\color {red}3&\color {red}7\end{array}}\right)$

Von dieser Matrix werden wir nun den Rang bestimmen:

${\begin{alignedat}{1}D=&{\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&4\\3&-2&-8\\-1&3&7\end{pmatrix}}\;{\begin{array}{r|}\,\\+2\cdot Z4\,\\+3\cdot Z4\,\\+Z1\,\end{array}}\;\to {\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&7&18\\0&7&13\\0&4&6\end{pmatrix}}\;{\begin{array}{r|}-(1/4)\cdot Z4\,\\\cdot (1/7)\,\\-Z2\,\\-(4/7)\cdot Z3\,\end{array}}\;\to \\\to &{\begin{pmatrix}1&0&(-5/2)\\0&1&(18/7)\\0&0&-5\\0&0&(-10/7)\end{pmatrix}}\;{\begin{array}{r|}+(-1/2)\cdot Z3\,\\+(18/10)\cdot Z4\,\\\cdot (-1/5)\,\\\cdot (-7/10)\,\end{array}}\;\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\;{\begin{array}{r|}\,\\\,\\\,\\-Z3\,\end{array}}\;\to {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\;\end{alignedat}}$

D.h. die Matrix $D$ hat den Rang $\operatorname {rg} (\,D\,)=3$, da in der erweiterten Matrix drei linear unabhängige Zeilen-/Spaltenvektoren vorhanden sind. Wir hatten ursprünglich $k=3$ Matrizen ($\equiv$ den Spaltenvektoren in der Matrix $D$) und $\operatorname {rg} \mathbf {(\,D\,)=3=k} \implies$ die Matrizen sind linear unabhängig.$\qquad \qquad \blacksquare$

Gleichungssystem mit Matrizen (Methode 2)

Der zweite Weg führt über die Gleichungen der linearen Unabhängigkeit:

Diese drei Matrizen sind linear unabhängig, wenn für die folgende Gleichung nur die triviale Lösung $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$ existiert$\colon \,$

$\,\lambda _{1}\cdot A+\lambda _{2}\cdot B+\lambda _{3}\cdot B^{\,2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\iff$ wenn die folgenden vier Gleichungen erfüllt sind$\colon \,$

${\begin{alignedat}{1}&G1)\ \,&&\lambda _{1}\,&\,\cdot \,\color {green}1\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{2}\,&\,\cdot \,\color {green}1\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{3}\,&\,\cdot \,\color {green}(-1)\,&\,\color {black}\,&\,=0\quad \land \quad &G2)\ \,&&\lambda _{1}\,&\,\cdot \,\color {orange}2\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{2}\,&\,\cdot \,\color {orange}1\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{3}\,&\,\cdot \,\color {orange}4\,&\,\color {black}\,&\,=0\\&G3)\ \,&&\lambda _{1}\,&\,\cdot \,\color {blue}3\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{2}\,&\,\cdot \,\color {blue}(-2)\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{3}\,&\,\cdot \,\color {blue}(-8)\,&\,\color {black}\,&\,=0\quad \land \quad &G4)\ \,&&\lambda _{1}\,&\,\cdot \,\color {red}(-1)\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{2}\,&\,\cdot \,\color {red}3\,&\,\color {black}+\,&\,\lambda _{3}\,&\,\cdot \,\color {red}7\,&\,\color {black}\,&\,=0\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{1}&{\text{Nach }}G1{\text{ folgt}}\colon \quad &\lambda _{1}\,=\,\lambda _{3}-\lambda _{2}\\&{\text{Nach }}G1{\text{ und }}G2{\text{ folgt}}\colon \quad &\lambda _{3}\cdot 2-\lambda _{2}\cdot 2+\lambda _{2}+\lambda _{3}\cdot 4\,=\,0\implies \lambda _{2}\,=\,\lambda _{3}\cdot 6\\&{\text{Nach }}G1,\,G2{\text{ und }}G3{\text{ folgt}}\colon \quad &\lambda _{3}\cdot (-35)=0\implies \lambda _{3}=0,\,\lambda _{2}=0,\,\lambda _{1}=0\\&{\text{Nach }}G1,\,G2,\,G3{\text{ und }}G4{\text{ folgt}}\colon \quad &\lambda _{1}\cdot (-1)+\lambda _{2}\cdot 3+\lambda _{3}\cdot 7\,=\,0+0+0\,=\,0\qquad \quad \color {green}\surd \color {black}\end{alignedat}}$

D.h. die Lösungsmenge $L$ ist$\colon \,$

$L=\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,\vert \,\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$ mit $\,\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {R} \}$.

$\implies$ D.h. es gibt nur die triviale Lösung. Das heißt, dass die drei Matrizen linear unabhängig sind $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare_Unabhängigkeit
• Matrizenmultiplikation

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