Kategorie:Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zwischen Vektorräumen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ aus denjenigen Vektoren in ${\displaystyle V}$, die auf den Nullvektor in ${\displaystyle W}$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist ${\displaystyle f}$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in ${\displaystyle V}$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.

Definition Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

${\displaystyle \operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}}$

der Kern von ${\displaystyle f}$. Er ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$.