TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 528

Sei $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit $\begin{array}{c}f(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array})=\begin{array}{c}f(\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\end{array})=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Bestimmen Sie $\ker (f)$ und $f({ℝ}^2)$ sowie $\dim (\ker (f))$ und den Rang von $f$.

Verifizieren Sie die Beziehung $\dim (\ker (f))+\mathrm{rg}(f)=\dim {ℝ}^2$ und bestimmen Sie die Matrix von $f$ bezüglich der kanonischen Basis.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})$ und $(\lambda \cdot \overrightarrow{x})\in U$.

• Als vereinfachte Schreibweise verwendet man $U\le V$ für die Eigenschaft, dass $U$ Unterraum von $V$ ist. Man beachte, dass der ganze Raum $V$ und die Menge $\mathbf{\{}\mathrm{𝟎}\mathbf{\}}$, die nur aus dem Nullvektor besteht, immer Unterräume von $V$ sind:

$V\le V$ und $\mathbf{\{}\mathrm{𝟎}\mathbf{\}}\le V$

Lineare Abbildung

Definition: Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$. $f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Umgekehrt legt jede Matrix${}^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

$A:\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K,(i,j)\mapsto a_{ij},$

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben. Die Menge $\mathrm{Abb}(\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\},K)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^m{K}^n$ benutzt.

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rk}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f:V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

$\mathrm{Kern}f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum von $V$.

Defekt

• Der Defekt einer Abbildung $f$ ist die Dimension vom Kern $\mathrm{def}(f)=\dim (\ker (f))$.

Rangsatz

Formulierung für lineare Abbildungen

Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von einem Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge $V$, des Kerns $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$ und des Bildes $\mathrm{i}\mathrm{m}(f)$ der Abbildung $f$ die Gleichung

$\dim V=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}(f)$.

Mit den Bezeichnungen Defekt $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(f)$ für die Dimension des Kerns und (Lineare Algebra) Rang $\mathrm{r}\mathrm{k}(f)$ (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung $f$ liest sich der Rangsatz als

$\dim V=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(f)+\mathrm{r}\mathrm{k}(f)$.

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.

Formulierung für Matrizen

Jede lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe Abbildungsmatrix). Umgekehrt definiert jede Matrix $A$ durch die Vorschrift $x\mapsto Ax$ eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist $A$ eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten, so gilt

$n=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}(A)$,

wobei $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ der Kern und $\mathrm{i}\mathrm{m}(A)$ das Bild der Matrix ist. Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit $r$, so liest sich der Rangsatz als

$n=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+r$.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:32, 29. Dez. 2025 (CET)

Beispiele von Har203

Einige Abbildungsbeispiele:

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& f(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}\frac{8}{3}\\ -\frac{8}{3}\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}1\\ 1/3\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ & f(\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}-\frac{10}{3}\\ \frac{10}{3}\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}-\frac{17}{3}\\ \frac{17}{3}\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}33\\ 11\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right),& f(\left(\begin{array}{c}1/3\\ 1/3\end{array}\right))& =& \left(\begin{array}{c}\frac{2}{9}\\ -\frac{2}{9}\end{array}\right)\end{array}$

Lösungsweg

Wir haben eine lineare Abbildung $M$ vom ${ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Jede lineare Abbildung ist durch eine Matrix, hier $M^{2\times 2}$, darstellbar. Wir werden diese Abbildunsmatrix erstellen:

$M=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)$

Von der Abbildung der Vektoren der kanonischen Basis haben wir einen Vektor und einen zweiten linear unabhängigen Vektor gegeben:

$M(\overrightarrow{e_2})=M(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\overrightarrow{s_2}\wedge M(\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

Das Bild des zweiten Vektors $\overrightarrow{e_1}$ müssen wir uns über die Eigenschaften linearer Abbildungen berechnen:

$M(\overrightarrow{e_1})=M(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=M(\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+(-\frac{2}{3})\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=\frac{1}{3}\cdot M(\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right))+(-\frac{2}{3})\cdot M(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)+(-\frac{2}{3})\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)=\overrightarrow{s_1}$.

D.h. die Abbildungsmatrix der kanonischen Basis schaut folgend aus:

$M=\left(\begin{array}{cc}M(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))& M(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{s_1}& \overrightarrow{s_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(-\frac{1}{3})& 1\\ \frac{1}{3}& (-1)\end{array}\right)$

Das gleiche hätten wir auch mittels Gauß'schem Eliminationsverfahren über eine erweiterte Matrix erreichen können: $M^T=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& -1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\to -(2\cdot Z2)\\ \end{array}⟹\left(\begin{array}{cccc}3& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\to Z1/3\\ \end{array}⟹\left(\begin{array}{cccc}1& 0& (-\frac{1}{3})& \frac{1}{3}\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)M^T\to M=\left(\begin{array}{cc}(-\frac{1}{3})& 1\\ \frac{1}{3}& (-1)\end{array}\right)$

Der Rang der Matrix $\mathrm{r}\mathrm{g}\left(M^{\ast }\right)=\left(\begin{array}{cc}(-\frac{1}{3})& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟏}$, da nur ein Zeilenvektor in der Matrix linear unabhängig ist.

Die Determinante von $M:det(M)=(-\frac{1}{3})\cdot (-1)-1\cdot \frac{1}{3}=0$

Für den gesamten Bildraum $\mathrm{im}\mathbf{(}𝐟\mathbf{(}{ℝ}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{)}$ erhalten wir:

$f({ℝ}^2)=\{\overrightarrow{x}\in R^2\mid \overrightarrow{x}=M\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-\frac{1}{3})\cdot x_1+x_2\\ \frac{1}{3}\cdot x_1-x_2\end{array}\right)$ mit $x_1,x_2\in ℝ\}=\{\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2\mid y=\frac{1}{3}\cdot x_1-x_2,\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-y\\ y\end{array}\right)$ mit $x_1,x_2\in ℝ\}$.

$⟹$ Der gesamte Bildraum ist eine Gerade, also die Dimension ist ebenfalls: $\dim (\mathrm{im}(f))=\mathrm{𝟏}$.

Alle Bild-Vektoren $\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2$ sind als Linearkombination von $\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ mit $\lambda \in ℝ$ darstellbar. Das entspricht der 2.Mediane.

Die Dimension vom Ursprungsraum $V={ℝ}^2$ ist natürlich $\mathrm{𝟐}$.

Der Kern der linearen Abbildung, die durch die Matrix $M$ definiert wird, ist jene Menge aller Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor $\overrightarrow{0_W}$ abgebildet wird (der Nullraum). Diese Menge genügt der Gleichung:

$M\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0_W}\in {ℝ}^2$ mit $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$.

Setzen wir für den Kern ($\ker (f)$) auf der rechten Seite den Nullvektor $\overrightarrow{0_W}\in {ℝ}^2$ in die Gleichung ein und lösen dieses Gleichungssystem mittels Gauß'schem Eliminationsverfahren:

$\left(\begin{array}{ccc}(-\frac{1}{3})& 1& 0\\ \frac{1}{3}& (-1)& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\to (-3)\cdot Z1\\ \to +Z1\end{array}⟹\left(\begin{array}{ccc}1& (-3)& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

D.h. der Lösungsraum ist eindimensional ($x1-3\cdot x_2=0$). Das ist eine Geradengleichung $x_2=k\cdot x_1+d$ mit $d=0$ natürlich und $x_1\in ℝ$. Die Gerade geht durch den Ursprung und hat die Steigung $k=\frac{1}{3}$.

$\ker (f)=\{\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2\mid x_2=\frac{1}{3}\cdot x_1,x_1\in ℝ\}=\{\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2\mid \overrightarrow{x}=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),\lambda \in ℝ\}$.

D.h die Dimension des Kerns der Abbildung $\dim (\ker (f))=\mathrm{def}(f)=\mathrm{𝟏}$

Wir schauen uns noch die zu überprüfende Gleichung an:

$\dim (\ker (f))=\mathrm{𝟏},\dim (\mathrm{rg}(f))=\mathrm{𝟏}\text{ und }\dim ({ℝ}^2)=\mathrm{𝟐}⟹1+1=2\surd ◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix
• Dimension
• Rang
• Kern
• Defekt einer Matrize (Mathematik)
• Rangsatz / Dimensionssatz / Kern-Bild-Satz

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