Kategorie:Rangsatz

Formulierung für lineare Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung von einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ in einen Vektorraum ${\displaystyle W}$, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge ${\displaystyle V}$, des Kerns ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ und des Bildes ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$ der Abbildung ${\displaystyle f}$ die Gleichung

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)}$.

Mit den Bezeichnungen Defekt ${\displaystyle \mathrm {def} (f)}$ für die Dimension des Kerns und (Lineare Algebra) Rang ${\displaystyle \mathrm {rk} (f)}$ (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung ${\displaystyle f}$ liest sich der Rangsatz als

${\displaystyle \dim V=\mathrm {def} (f)+\mathrm {rk} (f)}$.

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.

Formulierung für Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe Abbildungsmatrix). Umgekehrt definiert jede Matrix ${\displaystyle A}$ durch die Vorschrift ${\displaystyle x\mapsto Ax}$ eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist ${\displaystyle A}$ eine Matrix mit ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten, so gilt

${\displaystyle n=\dim \mathrm {ker} (A)+\dim \mathrm {im} (A)}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {ker} (A)}$ der Kern und ${\displaystyle \mathrm {im} (A)}$ das Bild der Matrix ist. Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit ${\displaystyle r}$, so liest sich der Rangsatz als

${\displaystyle n=\dim \mathrm {ker} (A)+r}$.