Kategorie:Rangsatz

Ist ${\displaystyle f:V\to W}$ eine lineare Abbildung von einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ in einen Vektorraum ${\displaystyle W}$, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge ${\displaystyle V}$, des Kerns ${\displaystyle \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)}$ und des Bildes ${\displaystyle \mathrm{i}\mathrm{m}(f)}$ der Abbildung ${\displaystyle f}$ die Gleichung

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}(f)}$.

Mit den Bezeichnungen Defekt ${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(f)}$ für die Dimension des Kerns und (Lineare Algebra) Rang ${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{k}(f)}$ (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung ${\displaystyle f}$ liest sich der Rangsatz als

${\displaystyle \dim V=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(f)+\mathrm{r}\mathrm{k}(f)}$.

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.

Jede lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe Abbildungsmatrix). Umgekehrt definiert jede Matrix ${\displaystyle A}$ durch die Vorschrift ${\displaystyle x\mapsto Ax}$ eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist ${\displaystyle A}$ eine Matrix mit ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten, so gilt

${\displaystyle n=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}(A)}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)}$ der Kern und ${\displaystyle \mathrm{i}\mathrm{m}(A)}$ das Bild der Matrix ist. Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit ${\displaystyle r}$, so liest sich der Rangsatz als

${\displaystyle n=\dim \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+r}$.