TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 545

Sei $V={ℝ}_n[x]$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\le n$ mit Koeffizienten aus $ℝ$. Sei weiters eine Abbildung $A$ definiert durch

$A(\sum _{k=0}^n{a}_k\cdot x^k)=\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2}$.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum Polynomräume

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Umgekehrt legt jede Matrix${}^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Abbildungsmatrix

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rk}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f:V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

$\mathrm{Kern}f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum von $V$.

Eigenschaften von Abbildungen: injektiv / surjektiv / bijektiv

• Eine Funktion $f:X\to Y$ ist injektiv, wenn $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in Y:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$
• Eine Funktion $f:X\to Y$ ist surjektiv, wenn $\mathrm{\forall }y\in Y:\mathrm{\exists }x\in X$ mit $f(x)=y$.
• Eine Funktion $f:X\to Y$ ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

lineare Abbildung injektiv / surjektiv / bijektiv

• Monomorphismus: Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f:V\to W$, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
• Epimorphismus: Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f:V\to W$, die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Algebra) Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $𝐖$ ist.
• Isomorphismus: Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f:V\to W$, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume $V$ und $W$ bezeichnet man dann als isomorph.
• Endomorphismus: Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind: $f:V\to V$. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
• Automorphismus: Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 02:04, 3. Jan. 2026 (CET)

Sei $V={ℝ}_n[x]$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\le n$ mit Koeffizienten aus $ℝ$. Sei weiters eine Abbildung $A$ definiert durch

$A(\sum _{k=0}^n{a}_k\cdot x^k)=\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2}$.

Anmerkung: A ist die lineare Abbildung für die zweite Ableitung der Polynome bis zum Grad $n$.

Lösungsmöglichkeiten

Wir haben mehrere Möglichkeiten, diese lineare Abbildung zu erstellen:

• ) Als Abbildung von $V=R_n[x]\to W=R_{n-2}[x]$, also mit Reduktion der Dimension mittels Matrix $((n-1)\times (n+1)$.
• ) Als Abbildung von $V=R_n[x]\to W=R_{n-1}[x]$, mit Reduktion der Dimension nur um $1$ mittels Matrix $((n)\times (n+1)$.
• ) Oder als Endomorphismus von $V\to V$ als Abbildung von $V=R_n[x]\to V=R_n[x]$, ohne Reduktion der Dimension mittels Matrix $((n+1)\times (n+1)$.

Zeigen Sie, dass $A$ linear ist und bestimmen Sle die Matrix von $A$ bezüglich der Basis $B=(x^0,x^1,\dots ,x^n)$ von $V$.

• $f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})\odot f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \cdot \overrightarrow{x})=\lambda \cdot f(\overrightarrow{x})$

Beweis der additiven Verträglichkeit

Gegeben seien zwei Polynome mit $p(x)=\sum _{k=0}^n{p}_k\cdot x^k\in V={ℝ}_n[x]$ vom Grad $\le n$ mit $p_k\in ℝ$ für $k=0,\dots ,n$ und $q(x)=\sum _{k=0}^n{q}_k\cdot x^k\in V={ℝ}_n[x]$ vom Grad $\le n$ mit $q_k\in ℝ$ für $k=0,\dots ,n$.

Zuerst überprüfen wir die Sonderfälle$:n=0,n=1,n=2,n=3$ Es gilt$:(\sum _{\mathrm{\varnothing }}=0)$.

$\begin{array}{cccc}𝐧\mathbf{=}\mathrm{𝟎}\mathbf{:}& A(\sum _{k=0}^0{a}_k\cdot x^k)=& A(a_0\cdot 1)=A(a_0)& =(\sum _{k=2}^{0}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2})=0\\ 𝐧\mathbf{=}\mathrm{𝟏}\mathbf{:}& A(\sum _{k=0}^1{a}_k\cdot x^k)=& A(a_0+a_1\cdot x)& =(\sum _{k=2}^{1}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2})=0\\ 𝐧\mathbf{=}\mathrm{𝟐}\mathbf{:}& A(\sum _{k=0}^2{a}_k\cdot x^k)=& A(a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2)& =(\sum _{k=2}^{2}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2})=2\cdot 1\cdot a_2\cdot x^0=2\cdot a_2\\ 𝐧\mathbf{=}\mathrm{𝟑}\mathbf{:}& A(\sum _{k=0}^3{a}_k\cdot x^k)=& A(a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3)& =(\sum _{k=2}^{3}k\cdot (k-1)\cdot a_k\cdot x^{k-2})=2\cdot 1\cdot a_2\cdot x^0+3\cdot 2\cdot a_3\cdot x^1=2\cdot a_2+6\cdot a_3\cdot x\end{array}$

Zu zeigen ist, dass $\mathrm{\forall }p(x)\in V$ und $q(x)\in V:A(p(x)+q(x))=A(p(x))+A(q(x))\in W$ gilt.

$\begin{array}{cccc}& A(p(x)+q(x))& =A((\sum _{k=0}^n{p}_x\cdot x^k)+(\sum _{k=0}^n{q}_x\cdot x^k))=A(\sum _{k=0}^n(p_x+q_x)\cdot x^k)=& \sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot (p_k+q_k)\cdot x^{k-2}\\ & A(p(x))+A(q(x))& =(\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot (p_k)\cdot x^{k-2})+(\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot (q_k)\cdot x^{k-2})=& \sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot (p_k+q_k)\cdot x^{k-2}⟹A(p(x))+A(q(x))=A(p(x)+q(x))\surd \text{ q.e.d}.\end{array}$

Beweis der multiplikativen Verträglichkeit

Gegeben sei wieder das oben definierten Polynom $p(x)$.

Zu zeigen ist, dass $\mathrm{\forall }p(x)\in V$ und $\lambda \in ℝ:A(\lambda \cdot p(x))=\lambda \cdot A(p(x))$ gilt.

$\begin{array}{c}A(\lambda \cdot p(x))=A(\lambda \cdot (\sum _{k=0}^n{p}_x\cdot x^k))=A((\sum _{k=0}^n\lambda \cdot p_x\cdot x^k)=\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot (\lambda \cdot p_k)\cdot x^{k-2}=\lambda \cdot (\sum _{k=2}^{n}k\cdot (k-1)\cdot p_k\cdot x^{k-2})=\lambda \cdot A(p(x))\surd \text{ q.e.d}.\end{array}$

$⟹A$ ist eine lineare Abbildung.

Matrix von $A$

Matrix von $A$ bezüglich der Basis $B=(x^0,x^1,\dots ,x^n)$

Wir schauen uns die Bilder der Basisvektoren an:

$A(x^0)=0,A(x^1)=0,A(x^2)=2\cdot 1\cdot x^0,A(x^3)=3\cdot 2\cdot x^1,A(x^4)=4\cdot 3\cdot x^2,$ etc $A(x^i)=i\cdot (i-1)\cdot x^{i-2}$

D.h unsere Matrix $A$ hat die Dimension $(n+1)\times (n+1)$ und schaut folgend aus (mit zusätzlicher Überschrift):

$A=\left(\begin{array}{cccccccc}{x}^0& x^1& x^2& x^3& x^4& x^5& \cdots & x^n\\ 0& 0& 2\cdot 1& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& 3\cdot 2& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& 0& 4\cdot 3& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & n\cdot (n-1)\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

$◼$

Links

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