TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 545

Sei $V=\mathbb {R} _{n}[x]$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\leq n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$. Sei weiters eine Abbildung $A$ definiert durch

$A\left(\sum _{k=0}^{n}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}$.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
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Hilfreiches von Har203

Lineare Abbildung

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\odot ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

• $f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\forall \;{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in V:\quad f({\vec {x}}\oplus {\vec {y}})=f({\vec {x}})\odot f({\vec {y}})$
2. $\forall \;\lambda \in K:\quad f(\lambda \cdot {\vec {x}})=\lambda \cdot f({\vec {x}})$

• Jede lineare Abbildung kann durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\forall {\vec {x}}\in V:\quad f({\vec {x}})=M\cdot {\vec {x}}$

• Umgekehrt legt jede $Matrix^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 02:04, 3. Jan. 2026 (CET)

Sei $V=\mathbb {R} _{n}[x]$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\leq n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$. Sei weiters eine Abbildung $A$ definiert durch

$A\left(\sum _{k=0}^{n}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}$.

Anmerkung: A ist die lineare Abbildung für die zweite Ableitung der Polynome bis zum Grad $n$.

Lösungsmöglichkeiten

Wir haben mehrere Möglichkeiten, diese lineare Abbildung zu erstellen:

• ) Als Abbildung von $V=R_{n}[x]\to W=R_{n-2}[x]$, also mit Reduktion der Dimension mittels Matrix $((n-1)\times (n+1)$.
• ) Als Abbildung von $V=R_{n}[x]\to W=R_{n-1}[x]$, mit Reduktion der Dimension nur um $1$ mittels Matrix $((n)\times (n+1)$.
• ) Oder als Endomorphismus von $V\to V$ als Abbildung von $V=R_{n}[x]\to V=R_{n}[x]$, ohne Reduktion der Dimension mittels Matrix $((n+1)\times (n+1)$.

Zeigen Sie, dass $A$ linear ist und bestimmen Sle die Matrix von $A$ bezüglich der Basis $B=\left(x^{0},x^{1},\ldots ,x^{n}\right)$ von $V$.

• $f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\forall \;{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in V:\quad f({\vec {x}}\oplus {\vec {y}})=f({\vec {x}})\odot f({\vec {y}})$
2. $\forall \;\lambda \in K:\quad f(\lambda \cdot {\vec {x}})=\lambda \cdot f({\vec {x}})$

Beweis der additiven Verträglichkeit

Gegeben seien zwei Polynome mit $\,p(x)=\sum _{k=0}^{n}\;p_{k}\cdot x^{k}\in V=\mathbb {R} _{n}[x]$ vom Grad $\leq n$ mit $\,p_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,\ldots ,n$ und $q(x)=\sum _{k=0}^{n}\;q_{k}\cdot x^{k}\in V=\mathbb {R} _{n}[x]$ vom Grad $\leq n$ mit $q_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,\ldots ,n$.

Zuerst überprüfen wir die Sonderfälle$\colon \,n=0,n=1,n=2,n=3\quad$ Es gilt$\colon \,\left(\sum _{\emptyset }=0\right)$.

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {n=0\colon \;} &A\left(\sum _{k=0}^{0}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=&A(a_{0}\cdot 1)=A(a_{0})&=\left(\sum _{k=2}^{0}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}\right)=0\\\mathbf {n=1\colon \;} &A\left(\sum _{k=0}^{1}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=&A(a_{0}+a_{1}\cdot x)&=\left(\sum _{k=2}^{1}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}\right)=0\\\mathbf {n=2\colon \;} &A\left(\sum _{k=0}^{2}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=&A(a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2})&=\left(\sum _{k=2}^{2}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}\right)=2\cdot 1\cdot a_{2}\cdot x^{0}=2\cdot a_{2}\\\mathbf {n=3\colon \;} &A\left(\sum _{k=0}^{3}\;a_{k}\cdot x^{k}\right)=&A(a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3})&=\left(\sum _{k=2}^{3}\;k\cdot (k-1)\cdot a_{k}\cdot x^{k-2}\right)=2\cdot 1\cdot a_{2}\cdot x^{0}+3\cdot 2\cdot a_{3}\cdot x^{1}=2\cdot a_{2}+6\cdot a_{3}\cdot x\end{alignedat}}$

Zu zeigen ist, dass $\forall \;p(x)\in V$ und $q(x)\in V\colon \,A(p(x)+q(x))=A(p(x))+A(q(x))\in W$ gilt.

${\begin{alignedat}{1}&A\left(p(x)+q(x)\right)\;&=A\left(\left(\sum _{k=0}^{n}\,p_{x}\cdot x^{k}\right)+\left(\sum _{k=0}^{n}\,q_{x}\cdot x^{k}\right)\right)=A\left(\sum _{k=0}^{n}\,(p_{x}+q_{x})\cdot x^{k}\right)=&\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot (p_{k}+q_{k})\cdot x^{k-2}\\&A\left(p(x)\right)+A\left(q(x)\right)\;&=\left(\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot (p_{k})\cdot x^{k-2}\right)+\left(\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot (q_{k})\cdot x^{k-2}\right)=&\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot (p_{k}+q_{k})\cdot x^{k-2}\implies A(p(x))+A(q(x))=A(p(x)+q(x))\quad \color {green}\surd \quad {\text{ q.e.d}}.\end{alignedat}}$

Beweis der multiplikativen Verträglichkeit

Gegeben sei wieder das oben definierten Polynom $p(x)$.

Zu zeigen ist, dass $\forall \;p(x)\in V$ und $\lambda \in \mathbb {R} \colon \,A\left(\lambda \cdot p(x)\right)=\lambda \cdot A\left(p(x)\right)$ gilt.

${\begin{alignedat}{1}A\left(\lambda \cdot p(x)\right)=A\left(\lambda \cdot \left(\sum _{k=0}^{n}\,p_{x}\cdot x^{k}\right)\right)=A(\left(\sum _{k=0}^{n}\,\lambda \cdot p_{x}\cdot x^{k}\right)=\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot (\lambda \cdot p_{k})\cdot x^{k-2}=\lambda \cdot \left(\sum _{k=2}^{n}\;k\cdot (k-1)\cdot p_{k}\cdot x^{k-2}\right)=\lambda \cdot A\left(p(x)\right)\quad \color {green}\surd \quad {\text{ q.e.d}}.\end{alignedat}}$

$\implies A$ ist eine lineare Abbildung.

Matrix von $A$

Matrix von $A$ bezüglich der Basis $B=\left(x^{0},x^{1},\ldots ,x^{n}\right)$

Wir schauen uns die Bilder der Basisvektoren an:

$A(x^{0})=0,\,A(x^{1})=0,\,A(x^{2})=2\cdot 1\cdot x^{0},\,A(x^{3})=3\cdot 2\cdot x^{1},\,A(x^{4})=4\cdot 3\cdot x^{2},\,$ etc $A(x^{i})=i\cdot (i-1)\cdot x^{i-2}$

D.h unsere Matrix $A$ hat die Dimension $(n+1)\times (n+1)$ und schaut folgend aus (mit zusätzlicher Überschrift):

$A=\left({\begin{array}{cccccccc}x^{0}&x^{1}&x^{2}&x^{3}&x^{4}&x^{5}&\cdots &x^{n}\\\hline 0&0&2\cdot 1&0&0&0&\cdots &0\\0&0&0&3\cdot 2&0&0&\cdots &0\\0&0&0&0&4\cdot 3&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &n\cdot (n-1)\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0\end{array}}\right)$

$\qquad \qquad \blacksquare$