TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 489

Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R}$. Bestimmen Sie eine Basis dieses Vektorraums, die nur Polynome dritten Grades enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{{\overrightarrow {b_{1}}},{\overrightarrow {b_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {b_{n}}}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\forall {\overrightarrow {x}}\in$ Vektorraum: $\exists \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ ($K$ Körper): ${\overrightarrow {x}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {b_{1}}}+\lambda _{2}{\overrightarrow {b_{2}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {b_{n}}},\quad$($\lambda _{i}$ eindeutig bestimmt).

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M$

Determinante

Determinante Eigenschaften

• Eigenschaften der Determinante

1. $\det E=1$ für Einheitsmatrix $E$
2. $\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)$, wobei $A^{\textsf {T}}$ die transponierte Matrix von $A$ ist.
3. $\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.$
4. Für quadratische Matrizen $A$ und $B$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

5. $\det(cA)=c^{n}\det(A)$ für eine $n\times n$ Matrix $A$ und eine Zahl $c$.
6. Für eine Dreiecksmatrix $A$ gilt $\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und $c$ eine Zahl, so gelten:

    a1) $\det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})=\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})$,

    a2) $\det({\color {red}c}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) $\det(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für $3\times 3$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:06, 13. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R} ,\;V=\mathbb {R} [\mathbb {X} ]_{\leq 3}$.

Bestimmen Sie eine Basis dieses Vektorraums, die nur Polynome dritten Grades enthält.

Zuerst werden wir zeigen, dass $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R}$ ein Vektorraum ist.

• Anmerkung: Der Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R} ,V=\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ ist isomorph zum Vektorraum $\left\langle \mathbb {R} ^{4},+,\cdot \right\rangle$.

$\Phi \colon \,\mathbb {R} [X]_{\leq 3}\to \mathbb {R} ^{4}$ mit $\Phi (a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3})=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$.

Der Vektorraum $\left\langle \mathbb {R} [X]_{\leq 3},+,\cdot \right\rangle$ ist über die Koeffizientenabbildung isomorph zu $\left\langle \mathbb {R} ^{4},+,\cdot \right\rangle$. Da $\left\langle \mathbb {R} ^{4},+,\cdot \right\rangle$ ein Vektorraum ist, folgt daraus unmittelbar, dass auch $\left\langle \mathbb {R} [X]_{\leq 3},+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R}$ ein Vektorraum ist.

• Anmerkung: Als Basis nehmen wir die Standardbasis für Polynome an$\colon \,\{1,\,x,\,x^{2},\,x^{3}\,\}$.

Abelsche Gruppe

• Die Menge $V$ ist nicht leer, da ${\vec {0}}=\left(0,0,0,0\right)\in V\equiv a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ mit $a_{i}=0,\,i\in \{\,0,1,2,3\,\}$.
• Das Assoziativgesetz bezüglich der Addition gilt, da die Vektoraddition komponentenweise in $\mathbb {R}$ und komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ durchgeführt wird und von $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ vererbt wird.
• Nullelement (= Einselement der Addition): Bezüglich der Addition ist der Nullvektor ${\vec {0}}=\left(0,0,0,0\right)\equiv a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x_{3}$ mit $a_{i}=0,\,i\in \{\,0,1,2,3\,\}$ das Nullelement.
• Inverse Element: Für die Addition gilt ebenfalls, dass die Addition komponentenweise in $\mathbb {R}$ bzw. komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$durchgeführt wird und das Einselement komponentenweise aus der abelschen Gruppe von $\left\langle \mathbb {R} ,+\right\rangle$ gebildet wird. D.h. zu ${\vec {a}}=\left(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\right)\equiv (a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}),\,(\,a_{i}\in \mathbb {R} ,\,{\vec {a}}\in V)$ ist das Inverse Element ${\vec {(-a)}}=\left(-a_{0},-a_{1},-a_{2},-a_{3}\right)\equiv ((-a_{0})+(-a_{1})\cdot x+(-a_{2})\cdot x^{2}+(-a_{3})\cdot x^{3}),\,(\,(-a_{i})\in \mathbb {R} ,\,{\vec {(-a)}}\in V)$.
• Das Kommutativgesetz bezüglich der Addition gilt, da die Vektoraddition komponentenweise in $\mathbb {R}$ bzw. komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ durchgeführt wird und von $\mathbb {R}$ vererbt wird.

$\implies \left\langle V,+\right\rangle$ ist eine nicht leere abelsche Gruppe.

Körper

• $\mathbf {\mathbb {K} } =\mathbb {R}$ ist mit $\left\langle \mathbb {R} ,+,\cdot \right\rangle$ ein Körper. Klar, ohne Beweis.

Vektorraum

Seien zwei Vektoren ${\vec {a}}=\left(\,a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\right),\,{\vec {b}}=\left(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}\right)\in V,\,a_{i},\,b_{i}\in \mathbb {R} ,\,i\in \{0,1,2,3\}$ und $\lambda ,\,\mu \in \mathbb {K} =\mathbb {R}$, daraus muss folgen:

• $\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$

$\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot ((a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}))=\lambda \cdot (a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})=(\lambda \cdot (a_{0}+b_{0}),\lambda \cdot (a_{1}+b_{1}),\lambda \cdot (a_{2}+b_{2}),\lambda \cdot (a_{3}+b_{3}))=(\lambda \cdot a_{0}+\lambda \cdot b_{0},\lambda \cdot a_{1}+\lambda \cdot b_{1},\lambda \cdot a_{2}+\lambda \cdot b_{2},\lambda \cdot a_{3}+\lambda \cdot b_{3})=\lambda \cdot (a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})=\lambda \cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})+\lambda \cdot (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}\qquad {\color {green}\surd }$

• $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {a}$

$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda +\mu )\cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=((\lambda +\mu )\cdot a_{0},(\lambda +\mu )\cdot a_{1},(\lambda +\mu )\cdot a_{2},(\lambda +\mu )\cdot a_{3})=(\lambda \cdot a_{0}+\mu \cdot a_{0},\lambda \cdot a_{1}+\mu \cdot a_{1},\lambda \cdot a_{2}+\mu \cdot a_{2},\lambda \cdot a_{3}+\mu \cdot a_{3})=(\lambda \cdot a_{0},\lambda \cdot a_{1},\lambda \cdot a_{2},\lambda \cdot a_{3})+(\mu \cdot a_{0},\mu \cdot a_{1},\mu \cdot a_{2},\mu \cdot a_{3})=\lambda \cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})+\mu \cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}<math>\qquad {\color {green}\surd }$

• $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a}})$

$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot \mu )\cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=((\lambda \cdot \mu )\cdot a_{0},(\lambda \cdot \mu )\cdot a_{1},(\lambda \cdot \mu )\cdot a_{2},(\lambda \cdot \mu )\cdot a_{3})=(\lambda \cdot (\mu \cdot a_{0}),\lambda \cdot (\mu \cdot a_{1}),\lambda \cdot (\mu \cdot a_{2}),\lambda \cdot (\mu \cdot a_{3}))=\lambda \cdot (\mu \cdot a_{0},\mu \cdot a_{1},\mu \cdot a_{2},\mu \cdot a_{3})=\lambda \cdot (\mu \cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}))=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a}})\qquad {\color {green}\surd }$

• $1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}$

$1\cdot {\vec {a}}=1\cdot (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=(1\cdot a_{0},1\cdot a_{1},1\cdot a_{2},1\cdot a_{3})=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})={\vec {a}}\qquad {\color {green}\surd }$

$\implies \left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ ist ein Vektorraum über $\mathbb {R} \qquad \qquad \blacksquare$

Basis

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Basis ${\vec {s_{1}}},\,{\vec {s_{2}}},\,{\vec {s_{3}}},\,{\vec {s_{4}}}$ dieses Vektorraums, die nur Polynome dritten Grades enthält.

Die Dimension vom Vektorraum $\dim(\,V\,)=4$. Daher benötigen wir $4$ linear unabhängige Vektoren, die den Raum aufspannen$\colon$.

• Anmerkung: Die Grundidee für meine Wahl der Vektoren war, die Standardbasis mit den kanonischen Vektoren herzunehmen$\colon \,({\color {green}1},{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}0}),\,({\color {green}0},{\color {green}1},{\color {green}0},{\color {green}0}),\,({\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}1},{\color {green}0}),\,({\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}1})$ und durch die Forderung nach Polynome dritten Grades die letzte Koordinate bei allen vier Vektoren auf ${\color {green}1}$ in der Form $\left(\,a_{0},a_{1},a_{2},{\color {green}1}\,\right)$) zu setzen. Das hat auf Anhieb funktioniert.

$s_{1}=(\,{\color {green}1},{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}1}\,)\,\equiv p_{1}(x)\quad s_{2}=(\,{\color {green}0},{\color {green}1},{\color {green}0},{\color {green}1}\,)\,\equiv p_{2}(x)\quad s_{3}=(\,{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}1},{\color {green}1}\,)\,\equiv p_{3}(x)\quad s_{4}=(\,{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}0},{\color {green}1}\,)\,\equiv p_{4}(x)$

Die entsprechenden Polynome der Basisvektoren sind dann$\colon \,$

$p_{1}(x)=1+x^{3}\qquad p_{2}(x)=x+x^{3}\qquad p_{3}(x)=x^{2}+x^{3}\qquad p_{4}(x)=x^{3}$

Die Matrix mit den Basisvektoren als Spaltenvektoren lautet$\colon$

$S=\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}}{\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}}{\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}}{\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}}\right)$

Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit mittels Determinante (Entwicklung nach der ersten Spalte und die Determinanten der $(3\times 3)$-Matrizen mittels Regel von Sarrus).

${\begin{alignedat}{1}S\colon \,\det(\,S\,)\,=\,&+1\cdot {\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}}&-0\cdot {\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}}&+0\cdot {\begin{vmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{vmatrix}}&-1\cdot {\begin{vmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}{\text{ mit }}\;&{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}}=1\quad &{\begin{vmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}=0\end{alignedat}}$

$\implies$ Die Determinante von $S\colon \,\det(\,S\,)=1\neq 0$.

D.h. die Matrix ist regulär (invertierbar) und hat daher den vollen Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,S\,)\,=\,4$. Daher hat diese Matrix vier linear unabhängige Spaltenvektoren, die den gesamten Raum aufspannen$\colon \,\operatorname {span} (\,s_{1},\,s_{2},\,s_{3},\,s_{4}\,)\,=\,V.<math>\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor
• Determinante

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