TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 477

Sei $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{\,a+b\cdot {\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zeigen Sie: $Q[{\sqrt {5}}]$ bildet mit den in $\mathbb {R}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

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Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$
Wir müssen also zeigen, dass $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$ bildet, mit der gewöhnlichen Addition bzw. Multiplikation. Um das zu zeigen, müssen wir zuerst beweisen, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+)$ eine abelsche Gruppe darstellt und anschließend die vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und auch die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation. Also, als erstes kommt der Beweis einer abelschen Gruppe dran:

$(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+):$
$(a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}})=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\Rightarrow$ Addition abgeschlossen

$((a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}}))+(e+f{\sqrt {5}})=((a+c+{\sqrt {5}}(b+d)+(e+f{\sqrt {5}})=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)$
$(a+b{\sqrt {5}})+((c+d{\sqrt {5}})+(e+f{\sqrt {5}}))=(a+b{\sqrt {5}})+(c+e+{\sqrt {5}}(d+f))=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)$
$\Rightarrow$ assoziativ

$0+0{\sqrt {5}}=0\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\forall q\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]:q+0=(q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2})+0=q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2}=q$
$\Rightarrow$ neutrales Element

$(a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)$
$(c+{\sqrt {5}}d)+(a+{\sqrt {5}}b)=c+a+{\sqrt {5}}(d+b)$
$\Rightarrow$ kommutativ

$(a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=0\to a+{\sqrt {5}}b=-c+{\sqrt {5}}(-d)\,\,c,d\in \mathbb {Q} \to -c+{\sqrt {5}}(-d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\Rightarrow$ inverse Elemente

Nun wurde bewiesen, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+)$ eine abelsche Gruppe ist. Jetzt fehlen noch vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation, um diese Struktur auf einen Vektorraum zu ergänzen.

$\lambda \in \mathbb {Q} ,a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$\lambda (a+b)=\lambda ((a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+(b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1}+{\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))$
$\lambda a+\lambda b=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\lambda (b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\lambda b_{1}+\lambda {\sqrt {5}}b_{2}=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))$
$\Rightarrow$ vektorielle Distributivität

$\lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$(\lambda +\mu )a=(\lambda +\mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2}=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a+\mu a$
$\Rightarrow$ skalare Distributivität

$\lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$(\lambda \mu )a=(\lambda \mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}$
$\lambda (\mu a)=\lambda (\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}))=\lambda (\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}$
$\Rightarrow$ skalare Assoziativität

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in $\mathbb {Q}$ ist $1$. Daher nehmen wir ihn als Skalar und multiplizieren damit einen Vektor.
$a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$
$1a=1(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}$
$\Rightarrow$ neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation

Damit sollte bewiesen sein, dass $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+,\mathbb {Q} )$ einen Vektorraum darstellt.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:41, 25. Feb. 2026 (CET)

Sei $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{\,a+b\cdot {\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$. Zeigen Sie: $Q[{\sqrt {5}}]$ bildet mit den in $\mathbb {R}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

• Anmerkung: ${\sqrt {5}}$ ist eine reelle, nicht rationale Zahl. Daher gilt stets für die zwei Teile einer Zahl $(a+b\cdot {\sqrt {5}})\in M\colon \,$

Der erste Teil $a$ ist immer rational, also $a\in \mathbb {Q}$ und der zweite Teil $b\cdot {\sqrt {5}}\in (R\setminus Q)\cup \{0\}$ ist stets reell oder $0$.

Das heißt eine "Auslöschung" des ersten und zweiten Teils kann nur bei $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {5}})$ passieren. Das heißt die Menge $M$ ist Nullteiler frei.

Für die Überprüfung gehen wir Schritt für Schritt die Definitionen des Vektorraumes $\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+,\cdot \rangle$ über $\mathbb {Q}$ durch.

Abelsche Gruppe M

Zu zeigen ist: $(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+)$ ist eine abelsche Gruppe:

• Nicht leer: $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ ist nicht leer, da $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {5}})\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$.
• Abgeschlossen: Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})\in M,\,a_{1},\,a_{2},\,b_{1},\,b_{2}\in Q$. Dann gilt

$(a+b)=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})\cdot {\sqrt {5}}\implies$

$\quad \implies (a_{1}+b_{1}),\,(a_{2}+b_{2})\in Q\,\land \,(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})\cdot {\sqrt {5}}\in M$.

• Assoziativität: $\forall \,a,b,c\;\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$:

Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,c=(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {5}})\in M$. Dann gilt:

${\begin{alignedat}{1}&(a+b)+c=((a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}}))+(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\\&(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})+((b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {5}}))=a+(b+c).\end{alignedat}}$

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $+$: Es gibt ein neutrales Element:

$0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {5}})\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ mit

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;a+0_{M}=0_{M}+a=a$.

• Für alle Elemente der Gruppe $a$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.

Sei $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} ,a\in M$, dann ist das Inverse Element zu $a\colon$

$-(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})=(-a_{1})+(-a_{2})\cdot {\sqrt {5}}$.

• Abelsche Gruppe: Kommutativgesetz: $\forall \,a,b\,\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ gilt$\colon \;(a+b)=(b+a)$.

Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})\in M$. Dann gilt:

${\begin{alignedat}{1}&(a+b)=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\\&(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {5}})=b+a\in M.\end{alignedat}}$

Körper Q

Wir wissen, dass $\langle \mathbb {Q} ,+,\cdot \rangle$ ein Körper ist.

• Anmerkung: Mengentheoretisch sind die beiden Mengen: $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Q} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{\,0\,\}$.

Skalarmultiplikation

• Die Skalarmultiplikation $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\mapsto \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\colon$

$\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=(\lambda \cdot x_{1})+(\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})\in M$ mit $\lambda ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q} ,(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})\in M$.

Vektorraum

• $V=\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+,\cdot \rangle$ heißt Vektorraum über den Körper $\mathbb {Q}$, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {Q}$ folgendes gilt:

Distributivgesetz V

• Z.z.: $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}),\,{\vec {y}}=(y1+y2\cdot {\sqrt {5}}),\,{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in M,\,\lambda ,\,x_{1},\,x_{2},\,y_{1},\,y_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&{\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(y_{1}+y_{2}\cdot {\sqrt {5}})=((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {5}})\implies \\&\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot ((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {5}})=\lambda \cdot (x_{1}+y_{1})+\lambda \cdot (x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {5}}=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1})+(\lambda \cdot x_{2}+\lambda \cdot y_{2})\cdot {\sqrt {5}}=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})+(\lambda \cdot y_{1}+\lambda \cdot y_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}.\end{alignedat}}$

Distributivgesetz K

• Z.z.: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {x}$:

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}),{\vec {x}}\in M,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda +\mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=((\lambda +\mu )\cdot x_{1}+(\lambda +\mu )\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}}+\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=(\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})+\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}))=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {\vec {x}}.\end{alignedat}}$

Assoziativgesetz K, V

• Z.z.: $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}})$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}),{\vec {x}}\in M,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot \mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}))=(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1}+(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}}=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1})+\lambda \cdot (\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}))=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}}).\end{alignedat}}$

Einselement K

• Z.z.: $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}),{\vec {x}}\in M,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

$1\cdot {\vec {x}}=1\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=(1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {5}})=x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {5}}={\vec {x}}$.

Alle Vektorraumaxiome sind erfüllt, daher ist $\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+,\cdot \rangle$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$.

Es ist ein zwei dimensionaler Vektorraum über $\mathbb {Q}$. Als Basis könnte man die naheliegende Basis $(1,{\sqrt {5}})$ verwenden. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

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