TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 478

Sei $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=\{\,a+b\cdot {\sqrt {7}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zeigen Sie: $Q[{\sqrt {7}}]$ bildet mit den in $\mathbb {R}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:13, 25. Feb. 2026 (CET)

Sei $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=\{\,a+b\cdot {\sqrt {7}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$. Zeigen Sie: $Q[{\sqrt {7}}]$ bildet mit den in $\mathbb {R}$ ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

• Anmerkung: ${\sqrt {7}}$ ist eine reelle, nicht rationale Zahl. Daher gilt stets für die zwei Teile einer Zahl $(a+b\cdot {\sqrt {7}})\in M\colon \,$

Der erste Teil $a$ ist immer rational, also $a\in \mathbb {Q}$ und der zweite Teil $b\cdot {\sqrt {7}}\in (R\setminus Q)\cup \{0\}$ ist stets reell oder $0$.

Das heißt eine "Auslöschung" des ersten und zweiten Teils kann nur bei $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {7}})$ passieren. Das heißt die Menge $M$ ist Nullteiler frei.

Für die Überprüfung gehen wir Schritt für Schritt die Definitionen des Vektorraumes $\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],+,\cdot \rangle$ über $\mathbb {Q}$ durch.

Abelsche Gruppe M

Zu zeigen ist: $(\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],+)$ ist eine abelsche Gruppe:

• Nicht leer: $\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ ist nicht leer, da $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {7}})\in \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$.
• Abgeschlossen: Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})\in M,\,a_{1},\,a_{2},\,b_{1},\,b_{2}\in Q$. Dann gilt

$(a+b)=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})\cdot {\sqrt {7}}\implies$

$\quad \implies (a_{1}+b_{1}),\,(a_{2}+b_{2})\in Q\,\land \,(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})\cdot {\sqrt {7}}\in M$.

• Assoziativität: $\forall \,a,b,c\;\in \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$:

Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,c=(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {7}})\in M$. Dann gilt:

${\begin{alignedat}{1}&(a+b)+c=((a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}}))+(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\\&(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})+((b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(c_{1}+c_{2}\cdot {\sqrt {7}}))=a+(b+c).\end{alignedat}}$

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $+$: Es gibt ein neutrales Element:

$0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {7}})\in \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ mit

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;a+0_{M}=0_{M}+a=a$.

• Für alle Elemente der Gruppe $a$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.

Sei $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} ,a\in M$, dann ist das Inverse Element zu $a\colon$

$-(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})=(-a_{1})+(-a_{2})\cdot {\sqrt {7}}$.

• Abelsche Gruppe: Kommutativgesetz: $\forall \,a,b\,\in \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ gilt$\colon \;(a+b)=(b+a)$.

Seien $a=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,b=(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})\in M$. Dann gilt:

${\begin{alignedat}{1}&(a+b)=(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\\&(b_{1}+b_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(a_{1}+a_{2}\cdot {\sqrt {7}})=b+a\in M.\end{alignedat}}$

Körper Q

Wir wissen, dass $\langle \mathbb {Q} ,+,\cdot \rangle$ ein Körper ist.

• Anmerkung: Mengentheoretisch sind die beiden Mengen: $\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\subset \mathbb {Q} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{\,0\,\}$.

Skalarmultiplikation

• Die Skalarmultiplikation $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\mapsto \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\colon$

$\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=(\lambda \cdot x_{1})+(\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})\in M$ mit $\lambda ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q} ,(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})\in M$.

Vektorraum

• $V=\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],+,\cdot \rangle$ heißt Vektorraum über den Körper $\mathbb {Q}$, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {Q}$ folgendes gilt:

Distributivgesetz V

• Z.z.: $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}),\,{\vec {y}}=(y1+y2\cdot {\sqrt {7}}),\,{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in M,\,\lambda ,\,x_{1},\,x_{2},\,y_{1},\,y_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&{\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(y_{1}+y_{2}\cdot {\sqrt {7}})=((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {7}})\implies \\&\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda \cdot ((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {7}})=\lambda \cdot (x_{1}+y_{1})+\lambda \cdot (x_{2}+y_{2})\cdot {\sqrt {7}}=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1})+(\lambda \cdot x_{2}+\lambda \cdot y_{2})\cdot {\sqrt {7}}=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})+(\lambda \cdot y_{1}+\lambda \cdot y_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\lambda \cdot {\vec {y}}.\end{alignedat}}$

Distributivgesetz K

• Z.z.: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {x}$:

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}),{\vec {x}}\in M,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda +\mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=((\lambda +\mu )\cdot x_{1}+(\lambda +\mu )\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\\&(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}}+\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=(\lambda \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})+\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}))=\\&\lambda \cdot {\vec {x}}+\mu \cdot {\vec {x}}.\end{alignedat}}$

Assoziativgesetz K, V

• Z.z.: $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}})$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}),{\vec {x}}\in M,\,\lambda ,\,\mu ,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

${\begin{alignedat}{1}&(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot \mu )\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}))=(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1}+(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}}=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1})+\lambda \cdot (\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=\\&\lambda \cdot (\mu \cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}))=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {x}}).\end{alignedat}}$

Einselement K

• Z.z.: $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

${\vec {x}}=(x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}),{\vec {x}}\in M,\,x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {Q}$. Daraus folgt:

$1\cdot {\vec {x}}=1\cdot (x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=(1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}\cdot {\sqrt {7}})=x_{1}+x_{2}\cdot {\sqrt {7}}={\vec {x}}$.

Alle Vektorraumaxiome sind erfüllt, daher ist $\langle \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],+,\cdot \rangle$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$.

Es ist ein zwei dimensionaler Vektorraum über $\mathbb {Q}$. Als Basis könnte man die naheliegende Basis $(1,{\sqrt {7}})$ verwenden. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

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