TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 488

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $Q$ .
Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes, der die Polynome $1+x-x^{2},\,-1+5\cdot x-4\cdot x^{2}$ und $4-2\cdot x+x^{2}$ enthālt.

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ , so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0

.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$ , von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 00:45, 15. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot ,\mathbb {Q} \right\rangle$ über $\mathbb {Q}$ .

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes, der die Polynome $1+x-x^{2},\,-1+5\cdot x-4\cdot x^{2}$ und $4-2\cdot x+x^{2}$ enthālt.

Abgeschlossenheit von U[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Anmerkung: Die Addition und Multiplikation ist in $\mathbb {Q}$ abgeschlossen.

Da wir die lineare Hülle der drei Vektoren bilden, wird bereits aus der Definition heraus ein abgeschlossener Unterraum der gegebenen Vektoren gebildet. Das heißt, ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies {\vec {x+y}}\in U$ und $\forall \,\lambda \in \mathbb {Q} \colon \,{\vec {x}}\in U\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U$ .

Polynome als Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir verwenden als Basis die Standardbasis für Polynome: $B=\{\,1,\,x,\,x^{2},\,x^{3},\,x^{4}\,\}$ , also einen Raum mit der Dimension $\mathbf {\dim(\,V\,)=5}$ .

{\begin{alignedat}{1}&p_{1}(x)=&1+x-x^{2}&\implies {\vec {b_{1}}}=(1,1,-1,0,0)\\&p_{2}(x)=&(-1)+5\cdot x-4\cdot x^{2}&\implies {\vec {b_{2}}}=(-1,5,-4,0,0)\\&p_{3}(x)=&4-2\cdot x+x^{2}&\implies {\vec {b_{3}}}=(4,-2,1,0,0)\end{alignedat}}

Zu zeigen ist, welcher minimale Teilraum aus diesen drei gegebenen Vektoren gebildet werden kann. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren $U=\operatorname {span} (\,{\vec {b_{1}}},\,{\vec {b_{2}}},\,{\vec {b_{3}}}\,)$ . Die lineare Hülle (Spann) einer Menge von Vektoren $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ist definiert als $\operatorname {span} (\,S\,)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\,\lambda _{i}\cdot x_{i}\,\vert \,\lambda _{i}\in \mathbb {Q} \right\}$ .

Wir überprüfen, welche Linearkombinationen aus diesen drei Vektoren gebildet werden können:

\lambda _{1}\cdot {\vec {b_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {b_{2}}}+\lambda _{3}\cdot {\vec {b_{3}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {Q} ,i\in \{1,2,3\}

.

{\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\,\cdot &1\,&+\;&\lambda _{2}\cdot (-1&)\,&+\;\lambda _{3}\,\cdot &4\;&=\,\color {green}&\color {green}\lambda _{1}&\;\color {green}-\;&\color {green}\,\lambda _{2}&\color {green}\;+\;&\color {green}4\cdot &\,\color {green}\lambda _{3}\\&\lambda _{1}\,\cdot &1\,&+\;&\lambda _{2}\,\cdot &5\,&+\;\lambda _{3}\cdot (-2&)\;&=\,\color {green}&\color {green}\lambda _{1}&\;\color {green}+\;5\,\cdot \,&\color {green}\,\lambda _{2}&\color {green}\;-\;&\color {green}2\cdot &\,\color {green}\lambda _{3}\\&\lambda _{1}\cdot (-1&)\,&+\;&\lambda _{2}\cdot (-4&)\,&+\;\lambda _{3}\,\cdot &1\;&=\,\color {green}-&\color {green}\lambda _{1}&\;\color {green}-\;4\,\cdot \,&\color {green}\,\lambda _{2}&\color {green}\;+\;&&\,\color {green}\lambda _{3}\\&\lambda _{1}\,\cdot &0\,&+\;&\lambda _{2}\,\cdot &0\,&+\;\lambda _{3}\,\cdot &0\;&=\,&{\color {green}0}\\&\lambda _{1}\,\cdot &0\,&+\;&\lambda _{2}\,\cdot &0\,&+\;\lambda _{3}\,\cdot &0\;&=\,&{\color {green}0}\end{alignedat}}

Lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist zwar nicht explizit verlangt, aber wir führen die Überprüfung trotzdem durch, ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind.

{\begin{alignedat}{1}A=\left({\begin{array}{rrr}1&-1&4\;\\1&5&-2\;\\-1&-4&1\;\\0&0&0\;\\0&0&0\;\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\Z2-Z1\to Z2\,\\Z3+Z1\to Z3\,\\\,\\\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&-1&4\;\\0&6&-6\;\\0&-5&5\;\\0&0&0\;\\0&0&0\;\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1+(1/6)\cdot Z2\to Z1\,\\Z2+Z3\to Z2\,\\6\cdot Z3+5\cdot Z2\to Z3\,\\\,\\\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0&3\;\\0&1&-1\;\\0&0&0\;\\0&0&0\;\\0&0&0\;\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}

Da der Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,A\,)=2$ ist, sind die drei vorgegebenen Vektoren nicht linear unabhängig $\implies$ Die drei Polynome sind ebenfalls nicht linear unabhängig.

Normalenvektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir haben einen Vektorraum der Dimension $\dim(\,V\,)=5$ und einen Unterraum der Dimension $\dim(U)=2$ . Daher hat $U$ die Kodimension $\operatorname {codim} _{V}(\,U\,)=\dim(\,V\,)-\dim(\,U\,)=3$ . Daher lässt sich $U$ als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems mit drei linear unabhängigen Gleichungen darstellen.

Für diese Normalenvektorengleichung müssen wir die nachstehende Gleichung $A^{T}\cdot {\vec {\nu }}={\vec {0_{V}}},\,n_{i}\in \mathbb {Q} ,\,i\in \{1,2,3,4,5\}$ lösen. Das ist nichts anderes als der Kern $\ker(\,A^{T}\,)$ der transponierten Matrix von $A$ :^

{\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{rrr}1&-1&4\\1&5&-2\\-1&-4&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)\mapsto A^{T}=\left({\begin{array}{rrrrr}1&1&-1&0&0\\-1&5&-4&0&0\\4&-2&1&0&0\end{array}}\right)\to A^{T}\cdot \left({\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\\n_{5}\end{array}}\right)={\vec {0_{V}}}\end{alignedat}}

.

Aus dem Gleichungssystem lesen wir die drei Gleichungen (Zeilen) aus:

{\begin{alignedat}{1}&\,&n_{1}&+\,&n_{2}&-\,&n_{3}&+0\,\cdot \;&n_{4}+0\,\cdot \;&n_{5}=0.\\&-&n_{1}&+5\,\cdot \;&n_{2}&-4\,\cdot \,&n_{3}&+0\,\cdot \;&n_{4}+0\,\cdot \;&n_{5}=0&\implies Zeile_{1}+Zeile_{2}&\implies 6\,\cdot \,n_{2}=5\,\cdot \,n_{3}&\implies n_{3}={\frac {6}{5}}\,\cdot \,n_{2}.\\&4\,\cdot \;&n_{1}&-2\,\cdot \;&n_{2}&+\,&n_{3}&+0\,\cdot \;&n_{4}+0\,\cdot \;&n_{5}=0&\implies 4\cdot n_{1}-{\frac {4}{5}}\cdot n_{2}=0&\implies n_{2}=5\cdot n_{1}&\land \qquad n_{3}=6\cdot n_{1}.\end{alignedat}}

D.h. unsere Normalenvektoren haben grundsätzlich folgende Gestalt $\colon \,n_{i}\in \mathbb {Q} ,i\in \{\,1,\ldots ,5\,\}\colon$

{\vec {\nu }}=(n_{1},5\cdot n_{1},6\cdot n_{1},n_{4},n_{5})

Da wir drei linear unabhängige Vektoren als Normalenvektoren ( $\nu _{1},\,\nu _{2},\,\nu _{3}$ ) benötigen, setzen wir (frei) für $\nu _{1}\colon \,n_{1}=1,\,n_{4}=0,\,n_{5}=0$ , für den zweiten Normalenvektor für $\nu _{2}\colon \,n_{1}=0,\,n_{4}=1,\,n_{5}=0$ ein und für den dritten $\nu _{3}\colon \,n_{1}=0,\,n_{4}=0,\,n_{5}=1$ und erhalten die Normalenvektor:

Normalenvektoren $\colon \quad \mathbf {\color {green}{\vec {\nu _{1}}}=(1,5,6,0,0)\qquad {\vec {\nu _{2}}}=(0,0,0,1,0)\qquad {\vec {\nu _{3}}}=(0,0,0,0,1)}$

In der Angabe haben wir die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad $\leq 4$ mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ , also kurz $\mathbb {Q} [X]_{\leq 4}$ gegeben.

Aus den drei linearen Gleichung der Normalenvektoren können wir die Gleichung für den Unterraum $U$ ableiten:

{\vec {\nu _{1}}}=(1,5,6,0,0)\implies \mathbf {a_{0}+5\cdot a_{1}+6\cdot a_{2}=0}

{\vec {\nu _{2}}}=(0,0,0,1,0)\implies \mathbf {a_{3}=0}

{\vec {\nu _{3}}}=(0,0,0,0,1)\implies \mathbf {a_{4}=0}

Der Vektorraum $U$ , also die lineare Hülle aus den drei gegebenen Polynomen ( $\equiv$ Vektoren), umfasst damit:

U=\{a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}+0\cdot x^{4}\,\vert \;

mit

a_{0},\,a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {Q} \,\land \,a_{0}+5\cdot a_{1}+6\cdot a_{2}=0\;\land \;a_{3}=a_{4}=0\}

.

D.h. jene Polynome, bei denen die konstante, die linear und die quadratische Komponente in Zusammenhang stehen und deren dritte und vierte Potenz verschwindet.

Linearkombinationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir stellen nun alle möglichen Linearkombinationen auf, welche aus diesen drei Vektoren gebildet werden können. Der aufgespannte, dass bedeutet bereits minimale, Raum dieser drei Polynome im gegebenen Polynom-Vektorraum ist bei beliebig ausgewähltem $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {Q} \,$ gegeben durch die Beziehung. Das ist die lineare Hülle dieser drei Vektoren:

\left({\begin{array}{rcrcr}{\color {green}\lambda _{1}}&-&{\color {green}\lambda _{2}}&+&{\color {green}\lambda _{3}}\\{\color {green}\lambda _{1}}&+&{\color {green}5\cdot \lambda _{2}}&-&{\color {green}2\cdot \lambda _{3}}\\{\color {green}-\lambda _{1}}&-&{\color {green}4\cdot \lambda _{2}}&+&{\color {green}\lambda _{3}}\\\,&\,&{\color {green}0}&\,&\,\\\,&\,&{\color {green}0}&\,&\,\end{array}}\right)

Diese Linearkombination erzeugt alle möglichen Vektoren, die aus den drei vorgegebenen Vektoren gebildet werden können, also die lineare Hülle.

Da die Matrix $A$ nur zwei linear unabhängige Vektoren umfasst, erhalten wir als Unterraum einen Raum der Dimension $\mathbf {\dim(\,U\,)=2}$ , obwohl $\dim(\,V\,)=5$ .