TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 486

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad kleiner gleich $4$ mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q} \,$ (Bezeichnung$\colon \,\mathbb {Q} [X]_{\leq 4}$).

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes der die Polynome $x-x^{2}$ und $x+x^{3}$ enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 02:02, 22. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {Q}$.

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes der die Polynome $x-x^{2}$ und $x+x^{3}$ enthält.

Abgeschlossenheit von U

• Anmerkung: Die Addition und Multiplikation ist in $\mathbb {Q}$ abgeschlossen.

Da wir die lineare Hülle der beiden Vektoren bilden, wird bereits aus der Definition heraus ein abgeschlossener Unterraum der gegebenen Vektoren gebildet. Das heißt, ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies {\vec {x+y}}\in U$ und $\forall \,\lambda \in \mathbb {Q} \colon \,{\vec {x}}\in U\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U$.

Polynome als Vektoren

Wir verwenden als Basis die Standardbasis für Polynome: $B=\{\,1,\,x,\,x^{2},\,x^{3},\,x^{4}\,\}$, also einen Raum mit der Dimension $\mathbf {\dim(\,V\,)=5}$.

${\begin{alignedat}{1}&p_{1}(x)&=x-&x^{2}&\implies &{\vec {b_{1}}}&=(0,1,-1,0,0)\\&p_{2}(x)&=x+&x^{3}&\implies &{\vec {b_{2}}}&=(0,1,0,1,0)\end{alignedat}}$

Zu zeigen ist, welcher minimale Teilraum aus diesen beiden gegebenen Vektoren gebildet werden kann. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren $U=\operatorname {span} (\,{\vec {b_{1}}},\,{\vec {b_{2}}}\,)$. Die lineare Hülle (Spann) einer Menge von Vektoren $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ist definiert als $\operatorname {span} (\,S\,)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\,\lambda _{i}\cdot x_{i}\,\vert \,\lambda _{i}\in \mathbb {Q} \right\}$.

Wir überprüfen, welche Linearkombinationen aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können:

$\lambda _{1}\cdot {\vec {b_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {b_{2}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {Q} ,i\in \{1,2\}$.

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\,\cdot &0\,&+\;&\lambda _{2}\cdot \,&0={\color {red}0}\\&\lambda _{1}\,\cdot &1\,&+\;&\lambda _{2}\cdot \,&1={\color {green}\lambda _{1}+\lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\cdot (-&1)\,&+\;&\lambda _{2}\cdot \,&0={\color {green}-\lambda _{1}}\\&\lambda _{1}\,\cdot &0\,&+\;&\lambda _{2}\cdot \,&1={\color {green}\lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\,\cdot &0\,&+\;&\lambda _{2}\cdot \,&0={\color {red}0}\end{alignedat}}$

Lineare Unabhängigkeit

Es ist zwar nicht explizit verlangt, aber wir führen die Überprüfung trotzdem durch, ob diese beiden Vektoren linear unabhängig sind.

${\begin{alignedat}{1}A=\left({\begin{array}{rrr}0&0\;\\1&1\;\\-1&0\;\\0&1\;\\0&0\;\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\to Z4\,\\Z2+Z3\to Z1\,\\Z3+Z2-Z4\to Z3\,\\\to Z2\,\\\;\end{array}}\to \left({\begin{array}{rrr}1&0\;\\0&1\;\\0&0\;\\0&0\;\\0&0\;\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Da der Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,A\,)=2$ ist, sind die beiden vorgegebenen Vektoren linear unabhängig $\implies$ Die beiden Polynome sind ebenfalls linear unabhängig.

Normalenvektor

Wir haben einen Vektorraum der Dimension $\dim(\,V\,)=5$ und einen Unterraum der Dimension $\dim(U)=2$. Daher hat $U$ die Kodimension $\operatorname {codim} _{V}(\,U\,)=\dim(\,V\,)-\dim(\,U\,)=3$. Daher lässt sich $U$ als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems mit drei linear unabhängigen Gleichungen darstellen.

Für diese Normalenvektorengleichung müssen wir die nachstehende Gleichung $A^{T}\cdot {\vec {\nu }}={\vec {0_{V}}},\,n_{i}\in \mathbb {Q} ,\,i\in \{0,1,2,3,4\}$ lösen. Das ist nichts anderes als der Kern $\ker(\,A^{T}\,)$ der transponierten Matrix von $A$:

${\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{rrr}0&0\;\\1&1\;\\-1&0\;\\0&1\;\\0&0\;\end{array}}\right)\mapsto A^{T}=\left({\begin{array}{rrrrr}0&1&-1&0&0\\0&1&0&1&0\end{array}}\right)\to A^{T}\cdot \left({\begin{array}{c}n_{0}\\n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{array}}\right)={\vec {0_{V}}}\end{alignedat}}$.

Aus dem Gleichungssystem lesen wir die beiden Gleichungen (Zeilen) aus:

Lösen des Gleichungssystems für die Normalenvektoren:

${\begin{alignedat}{1}&GL1\colon \,&0\cdot n_{0}&+\,&n_{1}&-\,&n_{2}&+\,&0\,\cdot n_{3}&+\,&0\,\cdot &\,n_{4}={\color {green}n_{1}-n_{2}}=0\\&GL2\colon \,&0\cdot n_{0}&+\,&n_{1}&+\,&0\cdot n_{2}&+\,&n_{3}&+\,&0\,\cdot &\,n_{4}={\color {green}n_{1}+n_{3}}=0\end{alignedat}}$

Aus den Gleichungen folgt:

${\begin{alignedat}{1}&GL4\colon \,GL1+GL2\colon \,&\implies n_{2}=n_{1}\quad \,\land \,\quad n_{3}=-n_{1}\\\end{alignedat}}$

D.h. unsere Normalenvektoren haben grundsätzlich folgende Gestalt$\colon \,n_{i}\in \mathbb {Q} ,i\in \{\,0,\ldots ,4\,\}\colon$

${\vec {\nu }}=(n_{0},n_{1},n_{1},-n_{1},n_{4})$

Da wir drei linear unabhängige Vektoren als Normalenvektoren ($\nu _{1},\,\nu _{2},\,\nu _{3}$) benötigen, setzen wir (frei) für $\nu _{1}\colon \,n_{0}=1,\,n_{1}=0,\,n_{4}=0$, für den zweiten Normalenvektor für $\nu _{2}\colon \,n_{0}=0,\,n_{1}=1,\,n_{4}=0$ ein und für den dritten $\nu _{3}\colon \,n_{0}=0,\,n_{1}=0,\,n_{4}=1$ und erhalten die Normalenvektor:

• Normalenvektoren$\colon \quad \mathbf {\color {green}{\vec {\nu _{1}}}=(1,0,0,0,0)\qquad {\vec {\nu _{2}}}=(0,1,1,-1,0)\qquad {\vec {\nu _{3}}}=(0,0,0,0,1)}$

In der Angabe haben wir die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}$ vom Grad $\leq 4$ mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$, also kurz $\mathbb {Q} [X]_{\leq 4}$ gegeben.

Aus den beiden linearen Gleichung der Normalenvektoren können wir die Gleichung für den Unterraum $U$ ableiten:

${\begin{alignedat}{1}&{\vec {\nu _{1}}}=(1,0,0,0,0)&\implies \mathbf {a_{0}=0} \\&{\vec {\nu _{2}}}=(0,1,1,-1,0)&\implies \mathbf {a_{1}+a_{2}-a_{3}=0} \\&{\vec {\nu _{3}}}=(0,0,0,0,1)&\implies \mathbf {a_{4}=0} \end{alignedat}}$

• Der Vektorraum $U$, also die lineare Hülle aus den beiden gegebenen Polynomen ($\equiv$ Vektoren), umfasst damit:

$U=\{0\cdot a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+0\cdot x^{4}\,\vert \;$ mit $a_{0},\,a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {Q} \,\land \,a_{1}+a_{2}-a_{3}=0,\,a_{0}=a_{4}=0$.

D.h. jene Polynome, bei denen die lineare, die quadratische und die kubischen Komponenten in Zusammenhang stehen und deren erste und vierte Potenz verschwindet.

Linearkombinationen

Wir stellen nun alle möglichen Linearkombinationen auf, welche aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können. Der aufgespannte, dass bedeutet bereits minimale, Raum dieser beiden Polynome im gegebenen Polynom-Vektorraum ist bei beliebig ausgewähltem $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {Q} \,$ gegeben durch die Beziehung. Das ist die lineare Hülle dieser beiden Vektoren:

$\left({\begin{array}{rcr}{\color {green}0}&\,&\\{\color {green}\lambda _{1}}&+&{\color {green}\lambda _{2}}\\{\color {green}-\lambda _{1}}&+&\\&+&{\color {green}\lambda _{2}}\\{\color {green}0}\,&\,&\end{array}}\right)$

Diese Linearkombination erzeugt alle möglichen Vektoren, die aus den beiden vorgegebenen Vektoren gebildet werden können, also die lineare Hülle.

Da die Matrix $A$ nur zwei linear unabhängige Vektoren umfasst, erhalten wir als Unterraum einen Raum der Dimension $\mathbf {\dim(\,U\,)=2}$, obwohl $\dim(\,V\,)=5$.

Durch die Normalenform-Bestimmung können wir nun den Spann etwas genauer angeben:

$\mathbf {\color {green}U=\{0\cdot a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+0\cdot x^{4}\,\vert \;{\text{ mit }}a_{0},\,a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {Q} \,\land \,a_{1}+a_{2}-a_{3}=0\;\land \;a_{0}=a_{4}=0\}}$.

Unterraum in Polynomdarstellung

Aus der Normalenvektor-Gleichung haben wir die folgenden Gleichungen erhalten: a_1+a_2-a_3=0, a_0=0, a_4=0

$a_{1}+a_{2}-a_{3}=0\quad \land \quad a_{0}=a_{4}=0,\,a_{i}\in \mathbb {Q}$

Wir lösen nach $a_{0}$ auf und setzen in die allgemeine Gleichung $p(x)\,=\,\sum _{i=0}^{4}\,a_{i}\cdot x^{i}$ ein und heben die $a_{i}$ heraus:

${\begin{alignedat}{1}&a_{1}=(-a_{2}+a_{3})\implies p_{0}(x)=0+(-a_{2}+a_{3})\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+0\cdot x^{4}\implies \\&(-a_{2})\cdot x+a_{3}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}=a_{2}\cdot (x^{2}-x)+a_{3}\cdot (x+x^{3})\implies \\&\implies p_{0}(x)=a_{2}\cdot (x^{2}-x)+a_{3}\cdot (x+x^{3})\end{alignedat}}$

Polynomdarstellung des Teilraumes $U$ mittels $p_{0}(x)$:

$\mathbf {\color {green}p_{0}(x)=a_{2}\cdot (x^{2}-x)+a_{3}\cdot (x+x^{3})}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor

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