TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 485

Die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4$ vom Grad kleiner gleich $4$ mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathbb{Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb{Q}$ (Bezeichnung$:\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$).

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes der die Polynome $x$ und $x^3$ enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin [M\mathrm{\setminus }\{v\}]\mathrm{\forall }v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

-- Har203 02:56, 22. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathbb{Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $\mathbb{Q}$.

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes der die Polynome $x$ und $x^3$ enthält.

Wir können dieses Beispiel auch kurz lösen:

Die beiden Polynome in Vektordarstellung sind zur Standardbasis $B=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$:

$x\mapsto \overrightarrow{b_1}=(0,1,0,0,0)\wedge x^3\mapsto \overrightarrow{b_2}=(0,0,0,1,0)$

Beide Vektoren sind Basisvektoren und damit linear unabhängig. Die Dimension des Unterraumes $U$ ist daher $\dim (U)=2$.

Der minimale Unterraum ist der Spann der beiden aufspannenden Vektoren $\overrightarrow{b_1}$ und $\overrightarrow{b_2}$:

$U=\mathrm{span}(\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2})=\mathrm{span}(x,x^3)$.

Das entspricht allen Linearkombinationen aus:

$U=\{{\lambda }_1\cdot \overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{b_2}|{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{Q}\}$

In Polynomdarstellung ergibt sich:

$𝐔\mathbf{=}\mathbf{\{}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{\cdot }𝐱\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\mathbf{\cdot }{𝐱}^{\mathrm{𝟑}}\mathbf{|}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\mathbf{\in }\mathbb{Q}\mathbf{\}}$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor

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