TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 491

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R}$. Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes $V$ der die Polynome $2\cdot x^{2}-x^{3},\,3\cdot x^{2}-x-1$ und $x^{2}+3\cdot x^{3}$ enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{{\overrightarrow {b_{1}}},{\overrightarrow {b_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {b_{n}}}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\forall {\overrightarrow {x}}\in$ Vektorraum: $\exists \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ ($K$ Körper): ${\overrightarrow {x}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {b_{1}}}+\lambda _{2}{\overrightarrow {b_{2}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {b_{n}}},\quad$($\lambda _{i}$ eindeutig bestimmt).

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 18:57, 11. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle =\mathbb {R} [\mathbb {x} ]_{\leq 3}$ über $\mathbb {R}$.

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum $U$ des Vektorraumes $V$ der die Polynome $2\cdot x^{2}-x^{3},\,3\cdot x^{2}-x-1$ und $x^{2}+3\cdot x^{3}$ enthält.

Abgeschlossenheit von U

Da wir die lineare Hülle der drei Vektoren bilden, wird ein abgeschlossener Unterraum der gegebenen Vektoren gebildet. Dahinter verbirgt sich die Tatsache aus der Definition des Spanns heraus, dass $U$ als Unterraum abgeschlossen ist. Also ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies {\vec {x+y}}\in U$ und $\forall \,\lambda \in \mathbb {R} \colon \,{\vec {x}}\in U\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U$.

Polynome als Vektoren

Wir verwenden als Basis die Standardbasis für Polynome: $B=\{\,1,\,x,\,x^{2},\,x^{3}\,\}$, also einen Raum mit der Dimension $\mathbf {\dim(\,V\,)=4}$.

${\begin{alignedat}{1}&p_{1}(x)=2\cdot x^{2}-x^{3}&\;=\implies {\vec {b_{1}}}=(0,0,2,-1)\\&p_{2}(x)=3\cdot x^{2}-x-1&\;=\implies {\vec {b_{2}}}=(-1,-1,3,0)\\&p_{3}(x)=x^{2}+3\cdot x^{3}&\;=\implies {\vec {b_{3}}}=(0,0,1,3)\end{alignedat}}$

Ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind, steht eigentlich hier nicht zur Frage. Wir werden dies trotzdem kontrollieren, da zwischen diesem und dem nächsten Beispiel der einzige Unterschied im zweiten Vektor besteht.

Zu zeigen ist, welcher minimale Teilraum aus diesen drei gegebenen Vektoren gebildet werden kann. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren $U=\operatorname {span} (\,{\vec {b_{1}}},\,{\vec {b_{2}}},\,{\vec {b_{3}}}\,)$. Die lineare Hülle (Spann) einer Menge von Vektoren $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ist definiert als $\operatorname {span} (\,S\,)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\,\lambda _{i}\cdot x_{i}\,\vert \,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\}$.

Wir überprüfen, welche Linearkombinationen aus diesen drei Vektoren gebildet werden können:

$\lambda _{1}\cdot {\vec {b_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {b_{2}}}+\lambda _{3}\cdot {\vec {b_{3}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} ,i\in \{1,2,3\}$.

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\cdot 0&+\lambda _{2}\cdot (-1)&+\lambda _{3}\cdot 0\;=&{\color {green}(-1)\cdot \lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\cdot 0&+\lambda _{2}\cdot (-1)&+\lambda _{3}\cdot 0\;=&{\color {green}(-1)\cdot \lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\cdot 2&+\lambda _{2}\cdot 3&+\lambda _{3}\cdot 1\\&\lambda _{1}\cdot (-1)&+\lambda _{2}\cdot 0&+\lambda _{3}\cdot 3\;=&{\color {green}(-1)\cdot \lambda _{1}+\lambda _{3}\cdot 3}\end{alignedat}}$

Lineare Unabhängigkeit

Es ist zwar nicht explizit verlangt, aber da zwischen diesem und dem nächsten Beispiel exakt der zweite Vektor unterschiedlich ist, möge hier der Unterschied liegen – vielleicht.

${\begin{alignedat}{1}A=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&-1&0\\2&3&1\\-1&0&3\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}-Z1\to Z4\,\\-Z2\to Z2\,\\Z3+2\cdot Z4\to Z3\,\\-Z4\to Z1\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc}1&0&-3\\0&1&0\\0&3&7\\0&1&0\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\\,\\(1/3)\cdot Z3-Z2\to Z3\,\\Z4-Z2\to Z4\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{ccc}1&0&-3\\0&1&0\\0&0&(7/3)\\0&0&0\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}$

Da der Spaltenrang $\operatorname {rk} (\,A\,)=3$ ist, sind die drei Vektoren linear unabhängig $\implies$ Die drei Polynome sind unabhängig.

Normalenvektor

Wir haben einen Vektorraum der Dimension $\dim(\,V\,)=4$ und einen Unterraum der Dimension $\dim(U)=3$. Daher hat $U$ die Kodimension $\operatorname {codim} _{V}(\,U\,)=\dim(\,V\,)-\dim(\,U\,)=1$. Daher lässt sich $U$ als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems mit einer linearen Gleichung darstellen.

Für diese Gleichung müssen wir die nachstehende Gleichung $A^{T}\cdot {\vec {\nu }}={\vec {0_{V}}},\,n_{i}\in \mathbb {R} ,\,i\in \{1,2,3,4\}$ lösen. Das ist nichts anderes als der Kern $\ker(\,A^{T}\,)$ der transponierten Matrix von $A$:

${\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{cccc}0&-1&0\\0&-1&0\\2&3&1\\-1&0&3\end{array}}\right)\mapsto A^{T}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&2&-1\\-1&-1&3&0\\0&0&1&3\end{array}}\right)\to A^{T}\cdot \left({\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{array}}\right)={\vec {0_{V}}}\end{alignedat}}$.

Aus dem Gleichungssystem lesen wir die erste und dritte Zeile aus:

${\begin{alignedat}{1}&2\cdot n_{3}-n_{4}=0\implies n_{4}=2\cdot n_{3}\quad \land \\&n_{3}+3\cdot n_{4}=0=n_{3}+3\cdot (2\cdot n_{3})=7\cdot n_{3}=0\implies n_{3}=n_{4}=0\end{alignedat}}$

Aus der zweiten Zeile erhalten wir schließlich:

$(-1)\cdot n_{1}-n_{2}+3\cdot 0+0=0\implies n_{1}=-n_{2}\implies {\vec {\nu }}=(n_{1},-n_{1},0,0)$ mit $n_{1}\in \mathbb {R} ,$ beliebig.

Da wir nur einen beliebigen Normalenvektor benötigen, setzen wir (frei) $n_{1}=1$ ein und erhalten den Normalenvektor

${\vec {\nu }}=(1,-1,0,0)$.

In der Angabe haben wir die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad $\leq 3$ mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$, also kurz $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ gegeben. Für diese Polynome aus dem Unterraum $U$ gilt nun die Vorgabe:

$a_{0}-a_{1}=0\implies \mathbf {a_{0}=a_{1}}$

D.h. jene Polynome, bei denen der konstante und der lineare Teil übereinstimmen.

Wir können jetzt mehr über den Spann aussagen:

$U=\operatorname {span} (\,p_{1}(x),\,p_{2}(x),\,p_{3}(x)\,)=\{\,a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}\,\mid \,a_{0}=a_{1},\,a_{i}\in \mathbb {R} \}$

Linearkombinationen

Wir stellen nun alle möglichen Linearkombinationen auf, welche aus diesen drei Vektoren gebildet werden können. Der aufgespannte, dass bedeutet bereits minimale, Raum dieser drei Polynome im gegebenen Polynom-Vektorraum ist bei beliebig ausgewähltem $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {R} \,$ gegeben durch die Beziehung. Das ist die lineare Hülle dieser drei Vektoren:

$\left({\begin{array}{lclcl}&&{\color {green}\lambda _{2}}\cdot (-1)&&\\&&{\color {green}\lambda _{2}}\cdot (-1)&&\\{\color {green}\lambda _{1}}\cdot 2&+&{\color {green}\lambda _{2}}\cdot 3&+&{\color {green}\lambda _{3}}\\{\color {green}\lambda _{1}}\cdot (-1)&+&&+&{\color {green}\lambda _{3}}\cdot 3\end{array}}\right)$

Diese Linearkombination erzeugt alle möglichen Vektoren, die aus den drei vorgegebenen Vektoren gebildet werden können, also die lineare Hülle.

Da die Matrix $A$ drei lineare unabhängige Vektoren umfasst, erhalten wir als Unterraum einen Raum der Dimension $\mathbf {\dim(\,U\,)=3}$, obwohl $\dim(\,V\,)=4$.

Durch die Normalenform-Bestimmung können wir nun den Spann etwas genauer angeben:

$\mathbf {U=\operatorname {span} (\,p_{1}(x),\,p_{2}(x),\,p_{3}(x)\,)=\{\,a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}\,\mid \,a_{0}=a_{1},\,a_{i}\in \mathbb {R} \}}$.

Unterraum in Polynomdarstellung

Aus der Normalenvektor-Gleichung haben wir die folgende Gleichung erhalten:

$a_{0}=a_{1},\,a_{i}\in \mathbb {R}$

Wir lösen nach $a_{0}$ auf und setzen in die allgemeine Gleichung $p(x)\,=\,\sum _{i=0}^{3}\,a_{i}\cdot x^{i}$ ein und heben die $a_{i}$ heraus:

${\begin{alignedat}{1}&a_{0}-a_{1}\,=\,0\implies a_{0}\,=\,(a_{1})\implies p_{0}(x)\,=\,(a_{1})+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}\implies \\&\implies p_{0}(x)\,=\,(a_{1})+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}\,=\,{\color {green}a_{1}\cdot (x+1)+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}}.\end{alignedat}}$

Polynomdarstellung des Teilraumes $U$ mittels $p_{0}(x)$:

${\color {green}p_{0}(x)=a_{1}\cdot (x+1)+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor

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