TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 490

Die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_i$ aus $ℝ$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $ℝ$. Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes $V$ der die Polynome $x$ und $x^2$ enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2},\dots ,\overrightarrow{b_n}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in$ Vektorraum: $\mathrm{\exists }{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ ($K$ Körper): $\overrightarrow{x}={\lambda }_1\overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{b_2}+\cdots +{\lambda }_n\overrightarrow{b_n},$(${\lambda }_i$ eindeutig bestimmt).

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin [M\mathrm{\setminus }\{v\}]\mathrm{\forall }v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:31, 12. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_i$ aus $ℝ$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $ℝ,V=ℝ[𝕏{]}_{\le 3}$.

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum $U$ des Vektorraumes $V$ der die Polynome $x$ und $x^2$ enthält.

Abgeschlossenheit von U

Da wir die lineare Hülle der beiden Vektoren bilden, wird ein abgeschlossener Unterraum der gegebenen Vektoren gebildet. Dahinter verbirgt sich die Tatsache aus der Definition des Spanns heraus, dass $U$ als Unterraum abgeschlossen ist. Also $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x+y}\in U$ und $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ:\overrightarrow{x}\in U⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in U$.

Polynome als Vektoren

Wir verwenden als Basis die Standardbasis für Polynome: $B=\{1,x,x^2,x^3\}$, also einen Raum mit der Dimension $\mathbf{dim}\mathbf{(}𝐕\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟒}$.

$\begin{array}{ccc}& p_1(x)=0\cdot x^3+0\cdot x^2+1\cdot x+0& ⟹\overrightarrow{b_1}=(0,1,0,0)\\ & p_2(x)=0\cdot x^3+1\cdot x^2+0\cdot x+0& ⟹\overrightarrow{b_2}=(0,0,1,0)\end{array}$

Ob diese beiden Vektoren linear unabhängig sind braucht man nicht zu überprüfen, da die Stufenmatrix bereits ersichtlich ist. Daher ist der Rang der dazu gehörenden Matrix $A:\mathrm{rk}(A)=2$.

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Zu zeigen ist, welcher minimale Teilraum aus diesen beiden gegebenen Vektoren gebildet werden kann. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren $U=\mathrm{span}(\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2})$. Die lineare Hülle (Spann) einer Menge von Vektoren $S=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ist definiert als $\mathrm{span}(S)=\{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot x_i|{\lambda }_i\in ℝ\}$.

Wir überprüfen, welche Linearkombinationen aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können (zuerst in Vektorform, dann in Komponentenform):

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{b_2},{\lambda }_i\in ℝ,i\in \{1,2\}$.

$\begin{array}{ccccc}& {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 0& =& 0\\ & {\lambda }_1\cdot 1& +{\lambda }_2\cdot 0& =& {\lambda }_1\\ & {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 1& =& {\lambda }_2\\ & {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 0& =& 0\end{array}$

Lineare Unabhängigkeit

Wir haben oben schon geschrieben, dass es zwei linear unabhängige Vektoren gibt und der Spaltenrang der Matrix $A:\mathrm{rk}(A)=2$ ist.

Normalenvektoren

Wir haben einen Vektorraum der Dimension $\dim (V)=4$ und einen Unterraum der Dimension $\dim (U)=2$. Daher hat $U$ die Kodimension ${\mathrm{codim}}_V(U)=\dim (V)-\dim (U)=2$. Daher lässt sich $U$ als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems mit zwei linear unabhängigen Gleichungen darstellen.

Für diese Gleichung müssen wir die nachstehende Gleichung $A^T\cdot \overrightarrow{\nu }=\overrightarrow{0_V},n_i\in ℝ,i\in \{1,2,3,4\}$ lösen. Das ist nichts anderes als der Kern $\ker (A^T)$ der transponierten Matrix von $A$:

$\begin{array}{cc}& A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\mapsto A^T=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\to A^T\cdot \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\\ n_4\end{array}\right)=\overrightarrow{0_V}\end{array}$.

Aus dem Gleichungssystem lesen wir die Gleichungen aus:

$\begin{array}{cc}& 0\cdot n_1+1\cdot n_2+0\cdot n_3+0\cdot n_4=0⟹n_2=0\\ & 0\cdot n_1+0\cdot n_2+1\cdot n_3+0\cdot n_4=0⟹n_3=0\end{array}$

Für die beiden Variablen $n_1,n_4\in ℝ$ gibt es keine Einschränkungen. Diese können unabhängig voneinander beliebig sein.

Da wir zwei beliebige linear unabhängige Normalenvektoren ${\nu }_1,{\nu }_2$ benötigen, setzen wir (frei) für ${\nu }_1:n_1=1,n_4=0$ und für ${\nu }_2:n_1=0,n_4=1$ ein. Damit erhalten wir die beiden Normalenvektoren:

${\nu }_1=(1,0,0,0)$ und ${\nu }_2=(0,0,0,1)$.

Es gilt für den Kern $\ker (A^T):({\alpha }_1\cdot \overrightarrow{{\nu }_1}+{\alpha }_2\cdot \overrightarrow{{\nu }_2})\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in U{\alpha }_i\in ℝ,i\in \{1,2\}$.

In der Angabe haben wir die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3$ vom Grad $\le 3$ mit Koeffizienten $a_i$ aus $ℝ$, also kurz $ℝ[X{]}_{\le 3}$ gegeben.

Für diese Polynome aus dem Unterraum $U$ gilt nun wegen der beiden Normalenvektoren ${\nu }_1,{\nu }_2$ die Vorgabe:

$a_0+0+0+0=0,0+0+0+a_3=0⟹{𝐚}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{=}{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$ und $a_1,a_2\in ℝ,$ unabhängig voneinander beliebig.

D.h. wir erhalten jene Polynome, bei denen nur die lineare und die quadratische Potenzen vorhanden sind.

Wir können jetzt mehr über den Spann aussagen:

$U=\mathrm{span}(p_1(x),p_2(x))=\{a_1\cdot x+a_2\cdot x^2\mid a_0=a_3=0,a_1,a_2\in ℝ,\text{ beliebig }\}$.

Linearkombinationen

Wir stellen nun alle möglichen Linearkombinationen auf, welche aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können. Der aufgespannte, dass bedeutet bereits minimale, Raum dieser Polynome im gegebenen Polynom-Vektorraum ist bei beliebig ausgewähltem ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$ gegeben durch die Beziehung. Das ist die lineare Hülle dieser beiden Vektoren:

$\begin{array}{ccccc}& {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 0& =& 0\\ & {\lambda }_1\cdot 1& +{\lambda }_2\cdot 0& =& {\lambda }_1\\ & {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 1& =& {\lambda }_2\\ & {\lambda }_1\cdot 0& +{\lambda }_2\cdot 0& =& 0\end{array}\}⟹\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ 0\end{array}\right)$.

Diese Linearkombination erzeugt alle möglichen Vektoren $\overrightarrow{x}$, die aus den beiden vorgegebenen Vektoren gebildet werden können, also die lineare Hülle.

Da die Matrix $A$ zwei lineare unabhängige Vektoren umfasst, erhalten wir als Unterraum einen Raum der Dimension $\mathbf{dim}\mathbf{(}𝐔\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}$, obwohl $\dim (V)=4$.

Durch die Normalenform-Bestimmung können wir nun den Spann etwas genauer angeben:

$𝐔\mathbf{=}\mathrm{span}\mathbf{(}{𝐩}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{(}𝐱\mathbf{)},{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{\{}{𝐚}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{\cdot }𝐱\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{\cdot }{𝐱}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\mathbf{\cdot }{𝐱}^{\mathrm{𝟑}}\mathbf{\mid }{𝐚}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{=}{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\mathbf{=}\mathrm{𝟎},{𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{\in }ℝ,\text{ beliebig }\mathbf{\}}$.

Unterraum in Polynomdarstellung

Aus der Normalenvektor-Gleichung haben wir die folgende Gleichung erhalten:

$a_0=a_3=0\in ℝ$

Damit können wir das Polynom sofort anschreiben:

$p_0(x)=a_1\cdot x+a_2\cdot x^2$

Polynomdarstellung des Teilraumes $U$ mittels $p_0(x)$:

$p_0(x)=a_1\cdot x+a_2\cdot x^2$.$◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor

Ähnliche Beispiele:

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