TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 490

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R}$. Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes $V$ der die Polynome $x$ und $x^{2}$ enthält.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

mit Koeffizienten $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_{i}$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}\quad \Longrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\vec {v}}_{i})_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_{j})_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{{\overrightarrow {b_{1}}},{\overrightarrow {b_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {b_{n}}}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\forall {\overrightarrow {x}}\in$ Vektorraum: $\exists \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ ($K$ Körper): ${\overrightarrow {x}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {b_{1}}}+\lambda _{2}{\overrightarrow {b_{2}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {b_{n}}},\quad$($\lambda _{i}$ eindeutig bestimmt).

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:31, 12. Feb. 2026 (CET)

Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad kleiner gleich 3 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $\left\langle V,+,\cdot \right\rangle$ über $\mathbb {R} ,\;V=\mathbb {R} [\mathbb {X} ]_{\leq 3}$.

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum $U$ des Vektorraumes $V$ der die Polynome $x$ und $x^{2}$ enthält.

Abgeschlossenheit von U

Da wir die lineare Hülle der beiden Vektoren bilden, wird ein abgeschlossener Unterraum der gegebenen Vektoren gebildet. Dahinter verbirgt sich die Tatsache aus der Definition des Spanns heraus, dass $U$ als Unterraum abgeschlossen ist. Also ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies {\vec {x+y}}\in U$ und $\forall \,\lambda \in \mathbb {R} \colon \,{\vec {x}}\in U\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U$.

Polynome als Vektoren

Wir verwenden als Basis die Standardbasis für Polynome: $B=\{\,1,\,x,\,x^{2},\,x^{3}\,\}$, also einen Raum mit der Dimension $\mathbf {\dim(\,V\,)=4}$.

${\begin{alignedat}{1}&p_{1}(x)=0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+1\cdot x+0&\implies {\vec {b_{1}}}=(0,1,0,0)\\&p_{2}(x)=0\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}+0\cdot x+0&\implies {\vec {b_{2}}}=(0,0,1,0)\end{alignedat}}$

Ob diese beiden Vektoren linear unabhängig sind braucht man nicht zu überprüfen, da die Stufenmatrix bereits ersichtlich ist. Daher ist der Rang der dazu gehörenden Matrix $A\colon \,\operatorname {rk} (\,A\,)=2$.

$A=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right)$.

Zu zeigen ist, welcher minimale Teilraum aus diesen beiden gegebenen Vektoren gebildet werden kann. Das ist die lineare Hülle dieser Vektoren $U=\operatorname {span} (\,{\vec {b_{1}}},\,{\vec {b_{2}}}\,)$. Die lineare Hülle (Spann) einer Menge von Vektoren $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ist definiert als $\operatorname {span} (\,S\,)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\,\lambda _{i}\cdot x_{i}\,\vert \,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \right\}$.

Wir überprüfen, welche Linearkombinationen aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können (zuerst in Vektorform, dann in Komponentenform):

$\lambda _{1}\cdot {\vec {b_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {b_{2}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} ,i\in \{1,2\}$.

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=\;&{\color {green}0}\\&\lambda _{1}\cdot 1&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=\;&{\color {green}\lambda _{1}}\\&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 1&\;=\;&{\color {green}\lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=\;&{\color {green}0}\end{alignedat}}$

Lineare Unabhängigkeit

Wir haben oben schon geschrieben, dass es zwei linear unabhängige Vektoren gibt und der Spaltenrang der Matrix $A\colon \,\operatorname {rk} (\,A\,)=2$ ist.

Normalenvektoren

Wir haben einen Vektorraum der Dimension $\dim(\,V\,)=4$ und einen Unterraum der Dimension $\dim(U)=2$. Daher hat $U$ die Kodimension $\operatorname {codim} _{V}(\,U\,)=\dim(\,V\,)-\dim(\,U\,)=2$. Daher lässt sich $U$ als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems mit zwei linear unabhängigen Gleichungen darstellen.

Für diese Gleichung müssen wir die nachstehende Gleichung $A^{T}\cdot {\vec {\nu }}={\vec {0_{V}}},\,n_{i}\in \mathbb {R} ,\,i\,\in \{\,1,2,3,4\,\}$ lösen. Das ist nichts anderes als der Kern $\ker(\,A^{T}\,)$ der transponierten Matrix von $A$:

${\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{cccc}0&0\\1&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right)\mapsto A^{T}=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right)\to A^{T}\cdot \left({\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{array}}\right)={\vec {0_{V}}}\end{alignedat}}$.

Aus dem Gleichungssystem lesen wir die Gleichungen aus:

${\begin{alignedat}{1}&0\cdot n_{1}+1\cdot n_{2}+0\cdot n_{3}+0\cdot n_{4}=0\implies n_{2}=0\\&0\cdot n_{1}+0\cdot n_{2}+1\cdot n_{3}+0\cdot n_{4}=0\implies n_{3}=0\end{alignedat}}$

Für die beiden Variablen $n_{1},\,n_{4}\in \mathbb {R}$ gibt es keine Einschränkungen. Diese können unabhängig voneinander beliebig sein.

Da wir zwei beliebige linear unabhängige Normalenvektoren $\nu _{1},\,\nu _{2}$ benötigen, setzen wir (frei) für $\nu _{1}\colon \,n_{1}=1,\,n_{4}=0$ und für $\nu _{2}\colon \,n_{1}=0,\,n_{4}=1$ ein. Damit erhalten wir die beiden Normalenvektoren:

$\nu _{1}=\left(1,0,0,0\right)\quad$ und $\quad \nu _{2}=\left(0,0,0,1\right)$.

Es gilt für den Kern $\operatorname {ker} (\,A^{T}\,)\colon \,(\alpha _{1}\cdot {\vec {\nu _{1}}}\,+\,\alpha _{2}\cdot {\vec {\nu _{2}}})\cdot {\vec {x}}\;=\;{\vec {0}}\quad \forall \ {\vec {x}}\;\in \;U\;\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,i\in \{\,1,2\,\}$.

In der Angabe haben wir die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}$ vom Grad $\leq 3$ mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {R}$, also kurz $\mathbb {R} [X]_{\leq 3}$ gegeben.

Für diese Polynome aus dem Unterraum $U$ gilt nun wegen der beiden Normalenvektoren $\nu _{1},\,\nu _{2}$ die Vorgabe:

$a_{0}+0+0+0=0,\,0+0+0+a_{3}=0\implies \mathbf {a_{0}=a_{3}=0}$ und $a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {R} ,$ unabhängig voneinander beliebig.

D.h. wir erhalten jene Polynome, bei denen nur die lineare und die quadratische Potenzen vorhanden sind.

Wir können jetzt mehr über den Spann aussagen:

$U=\operatorname {span} (\,p_{1}(x),\,p_{2}(x)\,)=\{\,a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}\,\mid \,a_{0}=a_{3}=0,\;a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {R} ,{\text{ beliebig }}\}$.

Linearkombinationen

Wir stellen nun alle möglichen Linearkombinationen auf, welche aus diesen beiden Vektoren gebildet werden können. Der aufgespannte, dass bedeutet bereits minimale, Raum dieser Polynome im gegebenen Polynom-Vektorraum ist bei beliebig ausgewähltem $\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathbb {R} \,$ gegeben durch die Beziehung. Das ist die lineare Hülle dieser beiden Vektoren:

$\left.{\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=&\;{\color {green}0}\\&\lambda _{1}\cdot 1&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=&\;{\color {green}\lambda _{1}}\\&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 1&\;=&\;{\color {green}\lambda _{2}}\\&\lambda _{1}\cdot 0&\,+\,\lambda _{2}\cdot 0&\;=&\;{\color {green}0}\end{alignedat}}\quad \right\}\quad \implies \quad {\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}{\color {green}0}\\{\color {green}\lambda _{1}}\\{\color {green}\lambda _{2}}\\{\color {green}0}\end{array}}\right)$.

Diese Linearkombination erzeugt alle möglichen Vektoren ${\vec {x}}$, die aus den beiden vorgegebenen Vektoren gebildet werden können, also die lineare Hülle.

Da die Matrix $A$ zwei lineare unabhängige Vektoren umfasst, erhalten wir als Unterraum einen Raum der Dimension $\mathbf {\dim(\,U\,)=2}$, obwohl $\dim(\,V\,)=4$.

Durch die Normalenform-Bestimmung können wir nun den Spann etwas genauer angeben:

$\mathbf {U=\operatorname {span} (\,p_{1}(x),\,p_{2}(x)\,)=\{\,a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}\,\mid \,a_{0}=a_{3}=0,\;a_{1},\,a_{2}\in \mathbb {R} ,{\text{ beliebig }}\}}$.

Unterraum in Polynomdarstellung

Aus der Normalenvektor-Gleichung haben wir die folgende Gleichung erhalten:

$a_{0}=a_{3}=0\in \mathbb {R}$

Damit können wir das Polynom sofort anschreiben:

$p_{0}(x)\,=\,a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}$

Polynomdarstellung des Teilraumes $U$ mittels $p_{0}(x)$:

${\color {green}p_{0}(x)=a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}}$.$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor

Ähnliche Beispiele:

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