TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 44

Für welche komplexen Zahlen gilt $\bar{z}=\frac{1}{z}$?

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Hilfreiches

Konjugation einer komplexen Zahl

Konjugation einer komplexen Zahl

Bei der Konjugation einer komplexen Zahl wird der Imaginärteil invertiert.

• Kartesische Darstellung: $z=(a,𝗂b)\Rightarrow \bar{z}=(a,-𝗂b)$
• Polardarstellung: $z=[r,\phi ]\Rightarrow \bar{z}=[r,-\phi ]$

Division komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $⟶$ Polar-Darstellung: $(a,𝗂b)\to [r,\phi ]:$

$r=\sqrt{a^2+b^2},$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& a>0\text{(I., IV. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & a<0,b>0\text{(II. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & a<0,b<0\text{(III. Quadrant)}\end{array}$

• Polare $⟶$ kartesische Darstellung: $[r,\phi ]\to (a,𝗂b):\{\begin{array}{c}a=r\cdot \cos \phi \\ b=r\cdot \sin \phi \end{array}$

Lösung von Baccus

Einfache Lösung in Polardarstellung:

$\overline{z}$ ist die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl, d.h.:

$z=a+bi=(a,b)=[r,\phi ]⟹$

$\overline{z}=a-bi=(a,-b)=[r,-\phi ]$.

$1/z=\frac{[1,0]}{[r,\phi ]}=[1/r,0-\phi ]$ (Rechenregel: Division in Polardarstellung).

Aufgabe war: $\overline{z}=1/z$:

Radius: $\{\begin{array}{c}{r}_{\overline{z}}=r\\ r_{1/z}=1/r\end{array}\Rightarrow r=1/r⟹r=1$

Winkel: $\{\begin{array}{c}{\phi }_{\overline{z}}=-\phi \\ {\phi }_{1/z}=-\phi \end{array}\Rightarrow -\phi =-\phi$, d.h. keine Einschränkungen für $\phi$.

Fazit: $z$ muß bei beliebigem Phasenwinkel $\phi$ den Radius $r$ = 1 haben (d.h. auf dem Einheitskreis liegen).

--Baccus 05:33, 26. Nov 2006 (CET)

Lösung von mnemetz

Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.

z' = 1/z

a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)

(a - bi) * (a + bi) = 1

a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1

a^2 - b^2*i^2 = 1

a^2 + b^2 = 1

a^2 + b^2 ist der Betrag von z.

Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.

EDIT: sqrt(a² + b²) ist der Betrag von z.

Lösung von Hapi

$\overline{Z}$ = 1/Z

Welche komplexen Zahlen werdern dadurch repräsentiert?

$\overline{Z}$ (Z mit Querstrich darüber) bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von Z, dh:

$\overline{Z}$ = a - bi und Z = a + bi , (Real und Imaginärteil).

Ausmultipliziert lautet der Term:

$\overline{Z}$ * Z = 1 = (a – bi)*(a + bi) = (a² + b²) = 1

$\sqrt{a^2+b^2}$ = 1 = |Z|, = (Radius des Vektors)

Formel Z = |Z| * (cos$\varphi$ -i.sin$\varphi$), = Polarkoordianten [1,$\varphi$]

cos $\varphi$ = |Z| /a,

sin $\varphi$ = |Z| /b

Das bedeutet, daß $\varphi$ jeden Wert zwischen 0 und 2$\pi$ annehmen kann, der wegen der Radiuslänge 1 auf dem Einheitskreis liegt.

Hapi

Lösung von Thomas

Die einfachste Lösung aus dem SS09:

$\bar{z}=\frac{1}{z}//\ast z$

$\bar{z}\ast z=1//\bar{z}\ast z={\left|z\right|}^2$

$⟹{\left|z\right|}^2=1$

$⟹\left|z\right|=1$

Thomas

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipädia:

• Komplexe Zahlen
• Konjugiert komplexe Zahlen
• Division von komplexen Zahlen