TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 409
Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man berechne
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erster Schritt: Matrix analysieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zuerst analysieren wir die Matrix ein wenig:
- Auf steht eine 0 - die müssen wir wegkriegen. Dort darf keine Null stehen!
- Auf steht eine 1 - der Zeilentausch 1-4 bietet sich also an!
Bemerkung (onu): Also ich habe noch keinen Hinweis gefunden das bei der Bestimmung der Determinante das Element a11 nicht 0 sein darf?! Hab nachgerechnet, man kann die Entwicklung einfach nach der ersten Spalte machen und (so wie du in der Lösung) Zeile 2&3 eliminieren. Das ergibt sogar nur "(-1)*Unterdeterminante". Beinahe einfacher :)
Zweiter Schritt: Zeilentausch 1-4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir tauschen nun die Zeilen 1 und 4 und dürfen nicht vergessen, der neuen 4. Zeile einen Vorzeichenwechsel angedeihen zu lassen!
Dritter Schritt: Spalte eins, Nuller vervollständigen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zweite Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:
4-4*1 1-(-4)*4 -6-4*7 -8-4*12
Dritte Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:
3-3*1 3-(-4)*3 -2-7*3 5-3*12
Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Vierter Schritt: 17 herausheben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um auf 1 zu erhalten, heben wir in der ersten Zeile 17 heraus!
Fünfter Schritt: Reduktion auf 2x2 Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zweite Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:
0 -23-(-2)*15 -31 -
Dritte Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:
0 -3+10*(-2) -7+
Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abschlussrechnung, Zusammenfassung, Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag von eaglo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
ziel definieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- matrix auf mindestens 3x3 reduzieren (dann kann sie schon berechnet werden)
=> hier bietet sich die 1. spalte und die 4. zeile an (a11 ist bereits 0 wodurch wir eine zeile weniger bearbeiten müssen) das element a41 ist 1, der einfachheit halber nehmen wir dieses element als ausgangsbasis. weiteres ziel: a21 u. a31 zu 0 machen, dies geschieht durch multiplizieren der 4 zeile und anschließendes addieren bzw. subtrahieren von der jeweiligen zeile
0en erzeugen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
zeile 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
wir wollen für das element a21 den wert 0 bekommen somit müssen wir zeile 4 mit 4 multiplizieren und anschließen von zeile 2 abziehen.
a21_{neu} = a21 - 4 * a41 = 4 - 4 * 1 = 0 a22_{neu} = a22 - 4 * a42 = 1 - 4 * (-4) = 17 usw. ...
zeile 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
analog zu zeile 2:
a31_{neu} = a31 - 3 * a41 = 3 - 3 * 1 = 0 a32_{neu} = a32 - 3 * a42 = 3 - 3 * (-4) = 15 usw. ...
zeile 4 streichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
die 1. spalte haben wir nun eliminiert, jetzt a41 herausheben (auf vorzeichen achten) und wir können schon die 4. zeile streichen
das ergibt:
jetzt nur noch die determinante berechnen ...
determinante berechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
die determinante einer 3x3 matrize wird wie folgt berechnet:
D = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33
in unserem fall also:
D = (-1) * { [ 10 * (-34) * (-31) ] + [ 3 * (-56) * 15 ] + [ 7 * 17 * (-23) ] - [ 7 * (-34) * 15 ] - [ 3 * 17 * (-31) ] - [ 10 * (-56) * (-23) ] }
D = (-1) * { 10540 - 2520 - 2737 + 3570 + 1581 - 12880 }
D = (-1) * (-2446) = 2446
tada ... fertig :)
Anhang von mnemetz: Matlab und Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mit Matlab kann man sehr einfach die Determinanten von Matrizen berechnen - ich habe Matlab bei diesem Beispiel als begleitende Kontrolle verwendet. Beispiel:
Eingabe der Matrix
>> A = [0 10 3 7; 4 1 -6 -8; 3 3 -2 5; 1 -4 7 12] A = 0 10 3 7 4 1 -6 -8 3 3 -2 5 1 -4 7 12
Berechnung der Determinante
>> det(A) 2446
Ressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Baron/Kirschenhofer, Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, 1989, 2.Aufl., S. 77ff.
- Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
- Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer 1989, 250ff.
- Preuß/Wenisch, Lehr- und Übungsbuch numerische Mathematik, Hanser 2001, 63ff.
- Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer 2001, 473ff.
- Skriptum S. 77ff.
Web[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- https://web.archive.org/web/20180817161210/http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm
- http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
- http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29
- https://web.archive.org/web/20180817161213/http://www.mathematik.net/determinanten/22.htm
- https://web.archive.org/web/20180817161215/https://matheplanet.com/default3.html?call=article.php%3fsid=383