TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 414

Angabe

Über welchem Körper $\mathbb {Z} _{p}$ (p Primzahl) ist die Matrix A singulär?

$A={\begin{pmatrix}6&3&7\\8&5&9\\9&3&10\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Anmerkung: Eine Primzahl (n) ist eine Zahl grösser oder gleich 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Zuerst müssen wir die Determinante berechnen:

$det(A)=6*5*10+3*9*9+7*8*3-7*5*9-3*8*10-6*9*3=300+243+168-315-240-162=-6$

(Determinante nach der Formel $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3}+a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1}+a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2}-a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1}-a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3}-a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,2}$ berechnet)

Wir wissen, dass die Determinante der Matrix A gleich −6 ist. 6 besteht aus zwei Primfaktoren nämlich 2 und 3 (das Minus braucht nicht berücksichtigt werden). Somit ist die Matrix über den Körpern $\mathbb {Z} _{2}$ und $\mathbb {Z} _{3}$ singulär.