TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 415

Angabe

Über welchem Körper $\mathbb {Z} _{p}$ (p Primzahl) ist die Matrix A singulär?

$A={\begin{pmatrix}2&2&0\\4&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Anmerkung: Eine Primzahl (n) ist eine Zahl grösser oder gleich 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Zuerst müssen wir die Determinante berechnen:

$det(A)=2*1*2+2*1*0+0*4*1-0*1*0-2*4*2-2*1*1=4+0+0-16-2=-14$

(Determinante nach der Formel $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3}+a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1}+a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2}-a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1}-a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3}-a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,3}$ berechnet)

Wir wissen, dass die Determinante der Matrix A gleich −14 ist. 14 besteht aus zwei Primfaktoren nämlich 2 und 7 (das Minus braucht nicht berücksichtigt werden). Somit ist die Matrix über den Körpern $\mathbb {Z} _{2}$ und $\mathbb {Z} _{7}$ singulär.