TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 415

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Angabe[Bearbeiten]

Über welchem Körper \mathbb{Z}_p (p Primzahl) ist die Matrix A singulär?

A = \begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Anmerkung: Eine Primzahl (n) ist eine Zahl grösser oder gleich 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.


Zuerst müssen wir die Determinante berechnen:

det(A) = 2*1*2 + 2*1*0 + 0*4*1 - 0*1*0 - 2*4*2 - 2*1*1 = 4 + 0 + 0 -16 -2 = -14


(Determinante nach der Formel det(A) = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{pmatrix} = a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3} + a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1} + a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2} - a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1} - a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3} - a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,3} berechnet)

Wir wissen, dass die Determinante der Matrix A gleich −14 ist. 14 besteht aus zwei Primfaktoren nämlich 2 und 7 (das Minus braucht nicht berücksichtigt werden). Somit ist die Matrix über den Körpern \mathbb{Z}_2 und \mathbb{Z}_7 singulär.