TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 417

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A={\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_{A}*\lambda ))$, wobei $E_{A}$ der Einheitsvektor von A ist. (Wichtig: Im Buch sind die Vorzeichen in der Formel vertauscht! Lt. Wikipedia sollte die Formel von mnemetz richtig sein.)

$Eig_{A}=det({\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}})=det({\begin{pmatrix}3-\lambda &-1\\-1&3-\lambda \end{pmatrix}})$

$=(3-\lambda )*(3-\lambda )-1=9-6*\lambda +\lambda ^{2}-1=\lambda ^{2}-6*\lambda +8=(\lambda -2)*(\lambda -4)$

$\underbrace {(\lambda -2)} _{\lambda _{1}=2}*\underbrace {(\lambda -4)} _{\lambda _{2}=4}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• $\lambda _{1}=2$
• $\lambda _{2}=4$

Anmerkung von w1n5t0n

Im Buch stehen die Werte tatsächlich verkehrt, da das Problem $Ax=\lambda x$ gelöst natürlich $(A-\lambda I_{n})x=0$ lautet. Jedoch ist dies für die Berechnung der Determinante irrelevant, da -0 = 0.