Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?
![{\displaystyle {\frac {|z+4|}{|z-4|}}<3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ba2d67d473ecded8688d65cd7bff34ed&mode=mathml)
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Komplexe Zahlen Form: z = a +bi |z| =
Kreisgleichung: r =
siehe auch Beispiel 71
- Umrechnung komplex
Umrechnung von komplexen Zahlen:
- Kartesische
Polar-Darstellung: ![{\displaystyle \;(a,{\mathsf {i}}b)\;\rightarrow \;[r,\varphi ]:}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=df8d1f74dfe4ada05b2bb098b3771e1a&mode=mathml)
![{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e4c465eb37db9c75d4d89928bdb67c67&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&a>0\qquad {\text{(I., IV. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &a<0,b>0\quad {\text{(II. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &a<0,b<0\quad {\text{(III. Quadrant)}}\end{cases}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=91646a7f8490bbef1217020c24bffd78&mode=mathml)
- Polare
kartesische Darstellung: ![{\displaystyle \;[r,\varphi ]\;\rightarrow \;(a,{\mathsf {i}}b):\quad {\begin{cases}a=r\cdot \cos \varphi \\b=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=abbda0984bfd4f593cbb0272d5cef310&mode=mathml)
In Bezug auf die oben erwähnten nützlichen Tatsachen kann man schreiben:
Das ganze mit
multipliziert und
gleich aufgelöst, ergibt:
Quadriert:
Klammer ausmultipliziert:
Die rechte Seite vom Ganzen abziehen:
daraus wird dann das:
Alles mit
multiplizeren: (zu beachten: bei multiplikation mit -1 bzw. -(1/8) wird der Vergleichsoperator verändert - <
>)
Hier wird jetzt auf ein vollständiges Quadrat ergänzt, darum die -9 hinten (25-9=16):
Jetzt wird das vollständige Quadrat angeschrieben:
Was hier noch gemacht wird ist die -9 auf die rechte Seite bringen und als
anschreiben
weil
:
woraus folgt:
(I)
Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die (I) erfüllen.
Man stelle sich einen Kreis mit Radius
vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 5 liegt vor.
Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.
superphil0: Der Radius ist 3!!!
__________
Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie69.
Hapi
Alternative Lösung ohne Umweg über
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1. Ansatz
Ausmultiplizieren:
Umformen und gleich durch 8 dividieren:
Auf ein vollständiges Quadrat bringen:
Umformen:
Wurzln und siehe da gleiches Ergebnis wie oben!
Wäre das nicht ein Lösungskandidat, und keine fixe Lösung? (Aufgrund der quadrierung)