TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 67

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Seien P_1 und P_2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die Strecke \overline{P_1 P_2} in P_3, die Strecke \overline{P_2 P_3} in P_4, \overline{P_3 P_4} in P_5, usw. und bestimme die Lage von P_n für n \to \infty.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Mathematik für Informatik, Seite 150, Beispiel 4.37:

Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine Reihe der Form

\sum_{n \ge 0} q^n =  1 + q + q^2 + q^3 + ...

[...](Beweis im Buch oder bei Wikipedia)

Im Fall |q| < 1 folgt daraus die Konvergenz der geometrischen Reihe:

\sum_{n \ge 0} q^n =  \dfrac{1}{1-q}

Lösungsvorschlag von Fabs[Bearbeiten]

Als erstes schauen wir uns einmal an, wie sich das Ganze entwickelt. Wir können o.B.d.A sagen, dass P_1 = 0 und P_2 = 1 ist, weil wir ja abhängig von ihnen die Position von P_n für n \to \infty suchen. Also ist P_3 = \dfrac{1}{2}, P_4 = \dfrac{3}{4}, P_5 = \dfrac{5}{8} und P_6 = \dfrac{11}{16}.

Wenn wir uns die Strecken, also die Unterschiede zwischen den Werten ansehen, dann ist \overline{P_1 P_2} = 1, \overline{P_2 P_3} = -\dfrac{1}{2}, \overline{P_3 P_4} = \dfrac{1}{4}, \overline{P_4 P_5} = -\dfrac{1}{8} und \overline{P_5 P_6} = \dfrac{1}{16}. Das Ganze setzt sich in diesem Muster fort.

Wir haben hier also eine geometrische Reihe vorliegen. Unser q ist offensichtlich -\dfrac{1}{2} (wer will, kann das durch Einsetzen überprüfen...). Da \left| - \dfrac{1}{2} \right| < 1, ist die Reihe konvergent und wir verwenden die entsprechende Formel:

\sum_{n \ge 0} q^n =  \dfrac{1}{1-q} = \dfrac{1}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \dfrac{1}{\tfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}

Der Grenzwert ist also \dfrac{2}{3}, P_n geht für n \to \infty also gegen P_1 + \overline{P_1 P_2} \cdot \dfrac{2}{3}

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Hier noch eine Erklärung aus dem infoforum