TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 474

Man gebe zwei reelle Nullfolgen $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} },\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ an, die

$\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ und $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}=+\infty$

erfüllen.

Lösung

Es müssen beides Nullfolgen sein. D.h. sie müssen den Grenzwert 0 besitzten.

Für das $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ muss gelten $a_{n}<b_{n}$.

Für das $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}=+\infty$ muss gelten $a_{n}>b_{n}^{2}$.

Es muss also die ominöse Eigenschaft vorliegen, dass $b_{n}$ wenn es quadriert wird kleiner wird als $a_{n}$. Also irgendwas mit einem Kehrwert a la ${\frac {1}{x}}$. Gottseidank gibt es dafür Regeln die sagen dass folgendes eine Nullfolge ist:

${\frac {1}{n}}$

ebenfalls ist

$({\frac {1}{2}})^{n}={\frac {1}{2^{n}}}$

eine Nullfolge.

Setzen wir ein erhalten wir:

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}$

$b_{n}={\frac {1}{n}}$

Also:

$\lim {\frac {\frac {1}{2^{n}}}{\frac {1}{n}}}=\lim {\frac {n}{2^{n}}}=0$

und

$\lim {\frac {n^{2}}{2^{n}}}=+\infty$

Es funktioniert!

Die gesuchten Nullfolgen sind also $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }={\frac {1}{2^{n}}}$ und $\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }={\frac {1}{n}}$.

---Einwand von michaelllll---

Also $n^{2}$ < $2^{n}$

=> Diese Lösung ist, meiner Meinung, falsch! (siehe zum Beispiel: AlgoDat1 Skript: S. 22 WS07/08

Ich habs mit ${\frac {1}{n^{3}}}$ und ${\frac {1}{n^{2}}}$ gemacht.

--- Anmerkung von Teo ---

Man kann hier nicht direkt behaupten, dass Formel hier einfügen n² / 2^n gegen Unendlich läuft denn wir haben hier mit uneigentliche Grenzwerte ($\infty$ in Zähler und Nenner) zu tun.

Vl. ist es nicht übersichtlich, dass $n^{2}$ < $2^{n}$ NICHT stimmt, aber wenn ich z.B 555² in TS eingebe, kommt noch eine vernünftige "kleine" Zahl heraus im Vergleich zu 2^555. Bei fünf 5er kommt hier ein sogar overflow (der PC hat es auch nicht gern mit 5er:D).

Man kann also sehen, dass der Nenner(n^2) schneller wächst als der Zähler (=> Grenzwert ist nicht $\infty$) und somit ist hier nur die Lösung von michaelllll richtig!

Literatur

• http://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolge