TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 474

Man gebe zwei reelle Nullfolgen $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}},⟨b_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ an, die

$lim\frac{a_n}{b_n}=0$ und $lim\frac{a_n}{b_n^2}=+\mathrm{\infty }$

erfüllen.

Lösung

Es müssen beides Nullfolgen sein. D.h. sie müssen den Grenzwert 0 besitzten.

Für das $lim\frac{a_n}{b_n}=0$ muss gelten $a_n<b_n$.

Für das $lim\frac{a_n}{b_n^2}=+\mathrm{\infty }$ muss gelten $a_n>b_n^2$.

Es muss also die ominöse Eigenschaft vorliegen, dass $b_n$ wenn es quadriert wird kleiner wird als $a_n$. Also irgendwas mit einem Kehrwert a la $\frac{1}{x}$. Gottseidank gibt es dafür Regeln die sagen dass folgendes eine Nullfolge ist:

$\frac{1}{n}$

ebenfalls ist

$(\frac{1}{2}{)}^n=\frac{1}{2^n}$

eine Nullfolge.

Setzen wir ein erhalten wir:

$a_n=\frac{1}{2^n}$

$b_n=\frac{1}{n}$

Also:

$lim\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{n}}=lim\frac{n}{2^n}=0$

und

$lim\frac{n^2}{2^n}=+\mathrm{\infty }$

Es funktioniert!

Die gesuchten Nullfolgen sind also $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}=\frac{1}{2^n}$ und $⟨b_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}=\frac{1}{n}$.

---Einwand von michaelllll---

Also $n^2$ < $2^n$

=> Diese Lösung ist, meiner Meinung, falsch! (siehe zum Beispiel: AlgoDat1 Skript: S. 22 WS07/08

Ich habs mit $\frac{1}{n^3}$ und $\frac{1}{n^2}$ gemacht.

--- Anmerkung von Teo ---

Man kann hier nicht direkt behaupten, dass Formel hier einfügen n² / 2^n gegen Unendlich läuft denn wir haben hier mit uneigentliche Grenzwerte ($\mathrm{\infty }$ in Zähler und Nenner) zu tun.

Vl. ist es nicht übersichtlich, dass $n^2$ < $2^n$ NICHT stimmt, aber wenn ich z.B 555² in TS eingebe, kommt noch eine vernünftige "kleine" Zahl heraus im Vergleich zu 2^555. Bei fünf 5er kommt hier ein sogar overflow (der PC hat es auch nicht gern mit 5er:D).

Man kann also sehen, dass der Nenner(n^2) schneller wächst als der Zähler (=> Grenzwert ist nicht $\mathrm{\infty }$) und somit ist hier nur die Lösung von michaelllll richtig!

Literatur

• http://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolge