TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 56

Sei n eine beliebige positive natürliche Zahl und $N=12n-1$. Man zeige das die Summe aller Teiler von N durch 12 teilbar ist

Lösungsvorschlag von MarS

Keine wirkliche Lösung, nur ein interessantes Phänomen(?) auf das ich gestoßen bin, vlt kann man damit zur Lösung kommen

Zuerst hab ich mal ein paar n eingesetzt und die Teiler angeschaut:

n=1: 11, T: 1,11 Summe=12

n=2: 23, T: 1,23 Summe=24

n=3: 35, T: 1,5,7,35 Summe=48

n=4: 47, T: 1,47 Summe=48

n=5: 59, T: 1,59 Summe=60

n=6: 71, T: 1,71 Summe=72

n=7: 83, T: 1,83 Summe=84

n=8: 95, T: 1,5,19,95 Summe=120

n=9: 107,T: 1,107 Summe=108

n=10:119,T: 1,119 Summe=120

Dadurch habe ich die Vermutung, dass 12n-1 entweder eine Primzahl ist, die dann immer durch 12 teilbar ist, weil man sie 1 und sich selbst als Teiler hat, daher kommt man auf 12n.

Jetzt kommt der interessante Teil, den ich irgendwie nicht verstehe warum das so ist:

Bei n= 3+5x ist der Teiler immer die beiden trivialen Teiler 1 und die Zahl selbst, deren Summe wie bei den Primzahlen geteilt durch 12 teilbar ist und 5, 7+12x. Deren Summe ist wieder durch 12 teilbar, das heißt alle Teiler der Zahl zusammen sind durch 12 teilbar

Nächstes Problem ist n=23 = 3+5*4, da sind die Teiler nach voriger Formel 5, 55, die zusammen 60 ergeben und damit durch 12 teilbar wären, aber 55 ist ja 5*11, also sind die Teiler 1, 275 und 5,11,25,55, deren Summe natürlich auch wieder durch 12 teilbar ist. Das ist dann auch der Punkt wo ich das Beispiel aufgegebn habe, vlt kann ja jemand mit Hilfe dieser Beobachtungen eine Lösung finden, vlt bin ich aber auch komplett auf dem Holzweg

Dazu noch eine Vermutung bezüglich der Summen. Erste nicht-Primzahl: Teilersumme der vorigen Primzahl + 2*12, Primzahl nach der ersten nicht Primzahl: gleiche Teilersumme. Die vermutete allgemeine Formel für die Teilersumme:

Wenn n=3+5x: Teilersumme(n-1) + (x+1)*12

Wenn n=3+5x+1: Teilersumme(n-1)-(x-1)*12

ansonsten : Teilersumme(n-1)+12

Problem ist vor allem, das man beweißen müsste, das bis auf die beschriebenen Ausnahmen nur Primzahlen kommen. Vermutlich geht das irgendwie anders und leichter ;)

Kommentar von Peter

hier geht es meiner Meinung nach darum zu schauen welche 2 Zahlen mod 12 multipliziert 11 mod 12 ergeben können. wie du zeigst: 1 und 11, oder 5 und 7; erstellen einer Tabelle und überprüfen dieser sollte zeigen das alle kombinationen von 2 solchen Zahlen 12 ergeben